已知 a1=1，当 1/(n+1)＜x≤1/n 时 f(x)=anx^n（n∈N）。f(x) 在 (0,1] 连续，求 {an}

wintex

請問數學

elim

由题意, 连续函数 \(f(x)=\begin{cases}a_n x^n,& \frac{1}{n+1}< x\le\frac{1}{n};\\ a_{n+1}x^{n+1},& \frac{1}{n+2}< x\le\frac{1}{n+1}.\end{cases}\)
\(\therefore\quad a_{n+1}(\frac{1}{n+1})^{n+1}=f(\frac{1}{n+1})=f(\frac{1}{n+1}{\small+})=a_n(\frac{1}{n+1})^n\)
\(\quad\frac{a_{n+1}}{n+1}=a_n,\;\frac{a_{n+1}}{(n+1)!}=a_1=1,\;\boxed {a_n = n!\small\,(n=1,2,\ldots)}\)

luyuanhong

楼上 elim 的解答很好！已收藏。

wintex

luyuanhong 发表于 2021-5-5 08:04
楼上 elim 的解答很好！已收藏。

請問
f(n+1) 是什麼意思

elim

wintex 发表于 2021-5-4 18:15
請問
f(n+1) 是什麼意思

主贴给出了\(f(x)\) 在 \((0,1]\) 上的定义. 所以不知道 f(n+1) 是什么。

wintex

elim 发表于 2021-5-5 10:40
主贴给出了\(f(x)\) 在 \((0,1]\) 上的定义. 所以不知道 f(n+1) 是什么。

請問  f(1/n+1  +)  謝謝

luyuanhong

wintex

luyuanhong 发表于 2021-5-5 12:35

想請問這個

luyuanhong

wintex 发表于 2021-5-5 15:22
想請問這個