求整：( a^c+1)÷( a^k+1)÷(10m-1)≠n

太阳

已知：整数a>0，c>0，k>0，m>0，n>0，t>0，v>0，c=5k
求整：( a^c+1)÷( a^k+1)÷(10m-1)≠n
求整：( a^c+1)÷( a^k+1)÷(10m+3)≠t
求整：( a^c+1)÷( a^k+1)÷(10m-3)≠v

太阳

已知:整数a>0，c>0，k>0，m>0，n>0，t>0，u>0，v>0，y>0，c=2k，k=2m+n，m=2n，a=5m
求证1：(a^c+1-a^k)÷(a^m+1-a^n)÷(10t-1)≠u
求证2：(a^c+1-a^k)÷(a^m+1-a^n)÷(10t+3)≠v
求证3：(a^c+1-a^k)÷(a^m+1-a^n)÷(10t-3)≠y

yangchuanju

太阳整除问题
已知：整数a>0，c>0，k>0，m>0，n>0，t>0，v>0，c=5k
求整：( a^c+1)÷( a^k+1)÷(10m-1)≠n
求整：( a^c+1)÷( a^k+1)÷(10m+3)≠t
求整：( a^c+1)÷( a^k+1)÷(10m-3)≠v

简化一点，题目可变成：
(a^4k-a^3k+a^2k-a^k+1) ÷(10m-1)≠n
(a^4k-a^3k+a^2k-a^k+1) ÷(10m+3)≠t
(a^4k-a^3k+a^2k-a^k+1) ÷(10m-3)≠v

令a=10，k=1,2,3,4,5……，分子分别等于9091素数，99009901=3541*27961，999000999001=211*241*2161*9091，9999000099990001=1676321*5964848081，99999000009999900001=251*5051*78875943472201，……

令a=2，k=1,2,3,4,5……，分子分别等于16-8+4-2+1=11素数，256-64+16-4+1=205=5*41，4096-512+64-8+1=3641=11*331，65536-4096+256-16+1=61681素数，1048576-32768+1025-32+1=1016801=251*4051，……

令a=3,4,5……？？？？？？？

yangchuanju

太阳 发表于 2021-5-9 14:07
已知:整数a>0，c>0，k>0，m>0，n>0，t>0，u>0，v>0，y>0，c=2k，k=2m+n，m=2n，a=5m
求证1：(a^c+1-a^k)÷ ...

已知:整数a>0，c>0，k>0，m>0，n>0，t>0，u>0，v>0，y>0，c=2k，k=2m+n，m=2n，a=5m
求证1：(a^c+1-a^k)÷(a^m+1-a^n)÷(10t-1)≠u
求证2：(a^c+1-a^k)÷(a^m+1-a^n)÷(10t+3)≠v
求证3：(a^c+1-a^k)÷(a^m+1-a^n)÷(10t-3)≠y

题目中a=5m，应为c=5m吧？简化一点，题目可变成：
(a^10n-a^5n+1) ÷(a^2n-a^n+1) ÷(10t-1)≠u
(a^10n-a^5n+1) ÷(a^2n-a^n+1) ÷(10t+3)≠v
(a^10n-a^5n+1) ÷(a^2n-a^n+1) ÷(10t-3)≠y

令a=10，n=1,2,3,4,5……，
(a^10n-a^5n+1)=9999900001，99999999990000000001，999999999999999000000000000001，9999999999999999999900000000000000000001，99999999999999999999999990000000000000000000000001……
(a^2n-a^n+1)=91，9901，999001，99990001，9999900001……
(a^10n-a^5n+1) ÷(a^2n-a^n+1)= 109889011=211*241*2161，10099989899000101=61*4188901*39526741，1000999998998999000001001=29611*3762091*8985695684401，100009999999899989999000000010001素数，10000099999999989999899999000000000100001素数……

令a=2，n=1,2,3,4,5……，
(a^10n-a^5n+1)分别等于1024-32+1=993=3*331，1048576-1024+1=1047553= 13*61*1321，1073709057=3*19*18837001，1099510579201=241*4562284561，1125899873288193=3*331*1133836730401，……
(a^2n-a^n+1)分别等于4-2+1=3，16-4+1=13，64-8+1=57=3*19，256-16+1=241，1024-32+1=993=3*331，……
分别相除等于331，61*1321，18837001，4562284561，1133836730401，……

令a=3,4,5……？？？？？？？

太阳

这样命题能不能给出证明？

yangchuanju

太阳 发表于 2021-5-10 11:54
这样命题能不能给出证明？

相信太阳先生要证明这些命题，相当容易，轻车熟路。
请先生尽快给网友们提供这些证明！

太阳

我证明不了此题

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2021-5-10 11:38
已知:整数a>0，c>0，k>0，m>0，n>0，t>0，u>0，v>0，y>0，c=2k，k=2m+n，m=2n，a=5m
求证1：(a^c+1-a^ ...

代数式推导和变形：
(a^10n-a^5n+1) ÷ (a^2n-a^n+1)
=(a^15n+1)/(a^5n+1) ÷ (a^3n+1)/(a^n+1)
=(a^15n+1)/(a^5n+1) × (a^n+1)/(a^3n+1)
=(a^15n+1)/(a^3n+1) × (a^n+1) / (a^5n+1)
=(a^15n+1)/(a^3n+1) ÷ (a^5n+1) / (a^n+1)
=(a^12n- a^9n+a^6n-a^3+1) ÷ (a^4n- a^3n +a^2n-a^n+1)

令a=10，n=1，
(10^15+1)/(10^5+1)=1000000000000001/100001=9999900001
(10^3+1)/(10^1+1)=1001/11=91
=9999900001/91=109889011

(10^15+1)/ (10^3+1)= 1000000000000001/1001=999000999001
(10^5+1)/(10^1+1)=100001/11=9091
=999000999001/9091=109889011

(10^10-10^5+1)/(10^2-10^1+1)=9999900001/91=109889011
(10^12-10^9+10^6-10^3+1)/(10^4-10^3+10^2-10+1)=999000999001/9091=109889011

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2021-5-10 11:36
太阳整除问题
已知：整数a>0，c>0，k>0，m>0，n>0，t>0，v>0，c=5k
求整：( a^c+1)÷( a^k+1)÷(10m-1)≠ ...

改一改：
已知：整数a>0，c>0，k>0，m>0，n>0，t>0，v>0，c=3k
求整：( a^c+1)÷( a^k+1)÷(10m-1)≠n
求整：( a^c+1)÷( a^k+1)÷(10m+3)≠t
求整：( a^c+1)÷( a^k+1)÷(10m-3)≠v

简化一点，题目可变成：
(a^2k-a^k+1) ÷(10m-1)≠n
(a^2k-a^k+1) ÷(10m+3)≠t
(a^2k-a^k+1) ÷(10m-3)≠v

令a=10，k=1,2,3,4,5……，分子分别等于91=7*13， 9901素数， 999001=19*52579， 99990001素数， 9999900001 =7*13*211*241*2161，……
令a=2，k=1,2,3,4,5……，分子分别等于4-2+1=3素数， 16-4+1=13素数， 64-8+1=57=3*19， 256-16+1=241素数， 1024-32+1=993=3*331，……
改为c=3a后，分子可被(10m-1)、(10m+3)、(10m-3)整除。

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2021-5-10 11:38
已知:整数a>0，c>0，k>0，m>0，n>0，t>0，u>0，v>0，y>0，c=2k，k=2m+n，m=2n，a=5m
求证1：(a^c+1-a^ ...

改一改：
已知:整数a>0，c>0，k>0，m>0，n>0，t>0，u>0，v>0，y>0，c=2k，k=2m+n，m=2n，c=3m
求证1：(a^c+1-a^k)÷(a^m+1-a^n)÷(10t-1)≠u
求证2：(a^c+1-a^k)÷(a^m+1-a^n)÷(10t+3)≠v
求证3：(a^c+1-a^k)÷(a^m+1-a^n)÷(10t-3)≠y

简化一点，题目可变成：
(a^6n-a^3n+1) ÷(a^2n-a^n+1) ÷(10t-1)≠u
(a^6n-a^3n+1) ÷(a^2n-a^n+1) ÷(10t+3)≠v
(a^6n-a^3n+1) ÷(a^2n-a^n+1) ÷(10t-3)≠y

令a=10，n=1,2,3,4,5……，
(a^6n-a^3n+1)=999001，999999000001，999999999000000001，999999999999000000000001，999999999999999000000000000001……
(a^2n-a^n+1)=91，9901，999001，99990001，9999900001……
(a^6n-a^3n+1) ÷ (a^2n-a^n+1)= 999001/91不能整除，999999000001/9901不能整除，999999999000000001/999001不能整除，999999999999000000000001/99990001不能整除，999999999999999000000000000001/9999900001不能整除……

令a=2，n=1,2,3,4,5……，
(a^6n-a^3n+1)分别等于64-8+1=57=3*19，4096-64+1=4033= 37*109，261633=3*87211，16773121=433*38737，1073709057=3*19*18837001，……
(a^2n-a^n+1)分别等于4-2+1=3，16-4+1=13，64-8+1=57=3*19，256-16+1=241，1024-32+1=993=3*331，……
分别相除除第一式可整除外，其余各式都不能整除，……
改换条件后不能整除，更谈不上有没有(10m-1)、(10m+3)、(10m-3)因子的问题。