正方形 ABCD 中，AB=2，F 在 AD 上，E 关于 BF 与 A 对称，求 SΔEFB+SΔDEC 的最小值

FGNBGHJUOI

求过程和答案了

王守恩

\(\displaystyle记\ ∠ABF=\theta\ \ \ \ \ BF=\frac{2}{\cos(\theta)}\ \ \ \ \  CE=\frac{2\cos(2\theta)}{\sin(45°+\theta)}\)

\(\displaystyle S△EFB+S△DEC=\frac{2*\frac{2}{\cos(\theta)}*\sin(\theta)}{2}+\frac{2*\frac{2\cos(2\theta)}{\sin(45°+\theta)}*\sin(45°-\theta)}{2}\)

\(\displaystyle=\frac{2*\sin(\theta)}{\cos(\theta)}+\frac{2\cos(2\theta)*\sin(45°-\theta)}{\sin(45°+\theta)}=2\tan(\theta)+2-2\sin(2\theta)\)

\(\displaystyle 当\ \theta=  0.452278447...时，\ \ S△EFB+S△EFB的最小值=1.399433788...\)

doletotodole

初中好像用三角函数解不能得分.
只能平移DC到AB把2个面积合并, 下面那个角是45度,说不定有等腰直角.
或者更暴力一点, 过E点做水平平行线, 利用AE边构成射影直角三角形, 把面积和用AF表示出来.

FGNBGHJUOI

王守恩 发表于 2021-5-24 09:33
\(\displaystyle记\ ∠ABF=\theta\ \ \ \ \ BF=\frac{2}{\cos(\theta)}\ \ \ \ \  CE=\frac{2\cos(2\theta) ...

谢谢过程和答案了

FGNBGHJUOI

没有准确值，可惜了。。

luyuanhong

王守恩

luyuanhong 发表于 2021-5-24 17:44

谢谢陆老师！这样也可以，答案是一样的。

\(\displaystyle记\ ∠ABF=\theta\ \ \ \ \ FA=FE=2\tan(\theta)\ \ \ \ \  FD=2-2\tan(\theta)\)

\(\displaystyle S△EFB+S△DEC=S正方形ABCD-S△ABF-S△BCE-S△EDF\)

\(\displaystyle=2*2-\frac{2*2\tan(\theta)*\sin(\pi/2)}{2}-\frac{2*2*\cos(2\theta)}{2}-\frac{2\tan(\theta)*(2-2\tan(\theta))*\sin(2\theta)}{2}\)

luyuanhong

谢谢楼上 myyour 指出我的笔误！现已更正。

FGNBGHJUOI

luyuanhong 发表于 2021-5-24 17:44

谢谢详细的答案和过程啦

FGNBGHJUOI

doletotodole 发表于 2021-5-24 10:31
初中好像用三角函数解不能得分.
只能平移DC到AB把2个面积合并, 下面那个角是45度,说不定有等腰直角.
或者 ...

有道理