数学理论研究中的问题及其解决方法

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针对毕达哥拉斯定理提出后的第一次数学危机，始终存在着“无穷集合是不是完成了的整体”的无穷概念的争论问题；希尔伯特虽然使用康托尔公理写出了他的《几何基础》，但他1900年提出的23个问题的第一、第二两个问题至今没有得到解决。对微积分学建立之后的“无穷小量究竟是什么？”的第二次数学危机，虽然哥德尔（Gödel）提出过“我们有充分的理由相信，不论从哪方面看，非标准分析将会成为未来的数学分析。”但实际上，《非标准分析》中的无穷大自然数违背了自然数可以用十进记数法写出的性质。《非标准分析》的正实无穷小数与“正实数可以任意小” 的性质矛盾，所以 第二次数学危机到现在 仍然没有得到彻底解决。此外还有：芝诺悖论、罗素悖论、康托尔悖论以及笔者提出的数学理论的许多应用问题都需要研究。笔者看到：虽然希尔伯特与布劳威尔的争论后，提出的计划主要是坚持使用猅中律的形式化方案，但他的计划中也有使用有穷方法与使用元语言即普通语言的证明论方法。所以，在看到恩格斯《反杜林论》第一编“五、自然哲学、时间和空间”一节中，48页讲到的“杜林先生，永远做不到没有矛盾地思考现实的无限性。无限性是一个矛盾，而且充满着矛盾。无限纯粹是由有限组成的，这已经是矛盾，可是事情就是这样”[1]；以及在《自然辩证法》228页恩格斯讲道：“数学家的方法常常奇怪的得到正确的结果，但他们……。他们忘掉了：全部所谓纯粹数学都是研究抽象的，它的一切数量严格说来都是想象的数量，一切抽象在推到极端时就变成谬妄或自己的反面。数学的无限是从现实中借来的，……，而只能从现实中来说明，……。而这样一来，问题就说明了[2]”。结合毛泽东实践论与矛盾论的叙述，笔者提出了“①数学理论研究的基本原则是描述与解决现实数量大小及其关系的科学；②数学理论的阐述，不能单靠形式逻辑，还需要使用：理论与实践、理想与现实、精确与近似、无限与有限、零与非零足够小、形与数、直与曲之间的对立统一、分工合作的唯物辩证法进行阐述”（即需要建立“唯物辩证法的数学模型”）。为此，笔者已经进行了59年的工作，发表过“实数理论的问题与足够准近似分析”、“无限的概念与数学基础”、“全能近似分析简介”、“无穷的概念与实数理论问题”、“初等几何的实践性基础”几篇初步的论文。