线性偏微分算子的一个问题

fm1134

zytsang

并没有规定 \(A_n(x)\)和 \(f(x)\) 的值域必须是实数。根据算子 \(D\) 的定义，\(A_n(x)\) 和 \(f(x)\) 的值域可以是复数。另外，我们也可以使用定义 \(D_j:=\dfrac{\partial}{\partial x_j}\) 而不影响线性偏微分算子的定义的一般性。不同的作者使用不同的定义方法。

使用 \(D_j:=\dfrac{\partial}{\partial x_j}\) 的定义，那么傅里叶变换要多写个 \(i\)：
\[\mathcal{F}[D_j y(x_j)]=\frac{\hat{x}_j}{i}\mathcal{F}[y(x_j)]\]
\[\mathcal{F}[x_j y(x_j)]=-\dfrac{1}{i}D_j\mathcal{F}[y(x_j)] \]

使用定义 \(D_j:=\dfrac{1}{i}\dfrac{\partial}{\partial x_j}\) ，虽然算子中要多写个字符，但傅里叶变换可以少写个字符：
\[\mathcal{F}[D_j y(x_j)]=\hat{x}_j\mathcal{F}[y(x_j)]\]
\[\mathcal{F}[x_j y(x_j)]=-D_j\mathcal{F}[y(x_j)]\]

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zytsang 发表于 2021-6-11 15:09
并没有规定 \(A_n(x)\)和 \(f(x)\) 的值域必须是实数。根据算子 \(D\) 的定义，\(A_n(x)\) 和 \(f(x)\) 的 ...

非常感谢解答！