x^2+y^2=3(u^2+v^2)求整数解

xfhaoym

一道题让你走进数论的世界！-------------网上看的。

x^2+y^2=3(u^2+v^2)求整数解

王守恩

不止是3，好像3,6,7,11,12,14,...都是无解的，有什么规律吗？

Select[Range[300], SquaresR[2, #] == 0 &]

{3, 6, 7, 11, 12, 14, 15, 19, 21, 22, 23, 24, 27, 28, 30, 31, 33, 35, 38, 39, 42, 43, 44, 46, 47, 48,
51, 54, 55, 56, 57, 59, 60, 62, 63, 66, 67, 69, 70, 71, 75, 76, 77, 78, 79, 83, 84, 86, 87, 88, 91, 92,
93, 94, 95, 96, 99, 102, 103, 105, 107, 108, 110, 111, 112, 114, 115, 118, 119, 120, 123, 124, 126,
127, 129, 131, 132, 133, 134, 135, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 147, 150, 151, 152, 154, 155, 156,
158, 159, 161, 163, 165, 166, 167, 168, 171, 172, 174, 175, 176, 177, 179, 182, 183, 184, 186, 187,
188, 189, 190, 191, 192, 195, 198, 199, 201, 203, 204, 206, 207, 209, 210, 211, 213, 214, 215, 216,
217, 219, 220, 222, 223, 224, 227, 228, 230, 231, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 243, 246, 247, 248,
249, 251, 252, 253, 254, 255, 258, 259, 262, 263, 264, 266, 267, 268, 270, 271, 273, 275, 276, 278,
279, 280, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 291, 294, 295, 297, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 307, 308}

小fisher

王守恩 发表于 2021-6-25 14:19
不止是3，好像3,6,7,11,12,14,...都是无解的，有什么规律吗？

Table[FindInstance[{\(\frac{x^2 + y^2}{ ...

cgl_74

证明：该等式无除（0，0，0，0）之外的整数解：

cgl_74

补充：参考上面的证明，对于2，3楼提到的规律，那个参数a，只要a为奇数，且a-1不能被4整除，都没有整数解。
a=3，7，11，15，19.。。。。。等等。

Future_maths

x=y=u=v=0就是一组整数解。

cgl_74

牛🐂！多谢指出。
漏洞处在第一条，公约数为0时不能除去。补上这个漏洞，0是唯一的整数解。

我修改下解答