将 1,2,…,7 排成一行，使前 k（k=1,2,…,7）项之和都不能被 3 整除，有几种不同排法?

popo987654

有点不知從何分析...

luyuanhong

题  将 1,2,…,7 排成一行，使前 k（k=1,2,…,7）项之和都不能被 3 整除，有几种不同排法？

解   1,2,…,7 这七个数可分为三类：

（1）除以 3 余数为 1 ，有 1、4、7 三个数，都用“1”表示。

（2）除以 3 余数为 2 ，有 2、5 两个数，都用“2”表示。

（3）除以 3 余数为 0 ，有 3、6 两个数，都用“0”表示。

   如果已经将其他数排成一行，满足题目要求，然后任意放入两个“0”（不放在第一位），显然

也能满足题目要求，所以可以先不考虑“0”，只考虑“1”和“2”的排列。

   分下列两种情况讨论：

（1）排列的第一个数是“2”。

    这时第二个必须也是“2”（如果是“1”，前两个之和就会是 3 的倍数）。第三个必须是“1”

（如果是“2”，前三个之和就会是 3 的倍数）。第四个必须是“2”（如果是“1”，前四个之和

就会是 3 的倍数）。但是总共只有两个“2”，所以这种情况不可能。

（2）排列的第一个数是“1”。

    这时第二个必须也是“1”（如果是“2”，前两个之和就会是 3 的倍数）。第三个必须是“2”

（如果是“1”，前三个之和就会是 3 的倍数）。第四个必须是“1”（如果是“2”，前四个之和

就会是 3 的倍数）。第五个必须是“2”（如果是“1”，前五个之和就会是 3 的倍数）。

   这时得到的五个数的排列是“1”“1”“2”“1”“2”。正好将三个“1”两个“2”用完。

   然后任意放入两个“0”（不放在第一位），在除了第一位的 6 个位置中，选 2 个位置放“0”，

有 C(6,2) 种不同的放法。

   然后再考虑“0”、“1”、“2”内部的排列。两个“0”内部有 2！种排列，三个“1”内部有 3！

种排列，两个“2”内部有 2！种排列。

   综合以上分析，可知符合本题要求的排列种数为：

   C(6,2)×2！×3！×2！= 15×2×6×2 = 360 。