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题 将 1,2,…,7 排成一行,使前 k(k=1,2,…,7)项之和都不能被 3 整除,有几种不同排法?
解 1,2,…,7 这七个数可分为三类:
(1)除以 3 余数为 1 ,有 1、4、7 三个数,都用“1”表示。
(2)除以 3 余数为 2 ,有 2、5 两个数,都用“2”表示。
(3)除以 3 余数为 0 ,有 3、6 两个数,都用“0”表示。
如果已经将其他数排成一行,满足题目要求,然后任意放入两个“0”(不放在第一位),显然
也能满足题目要求,所以可以先不考虑“0”,只考虑“1”和“2”的排列。
分下列两种情况讨论:
(1)排列的第一个数是“2”。
这时第二个必须也是“2”(如果是“1”,前两个之和就会是 3 的倍数)。第三个必须是“1”
(如果是“2”,前三个之和就会是 3 的倍数)。第四个必须是“2”(如果是“1”,前四个之和
就会是 3 的倍数)。但是总共只有两个“2”,所以这种情况不可能。
(2)排列的第一个数是“1”。
这时第二个必须也是“1”(如果是“2”,前两个之和就会是 3 的倍数)。第三个必须是“2”
(如果是“1”,前三个之和就会是 3 的倍数)。第四个必须是“1”(如果是“2”,前四个之和
就会是 3 的倍数)。第五个必须是“2”(如果是“1”,前五个之和就会是 3 的倍数)。
这时得到的五个数的排列是“1”“1”“2”“1”“2”。正好将三个“1”两个“2”用完。
然后任意放入两个“0”(不放在第一位),在除了第一位的 6 个位置中,选 2 个位置放“0”,
有 C(6,2) 种不同的放法。
然后再考虑“0”、“1”、“2”内部的排列。两个“0”内部有 2!种排列,三个“1”内部有 3!
种排列,两个“2”内部有 2!种排列。
综合以上分析,可知符合本题要求的排列种数为:
C(6,2)×2!×3!×2!= 15×2×6×2 = 360 。 |
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