在平面直角坐标系中任取三个点，分别求这三个点连成锐角三角形和连成钝角三角形的概率

Ysu2008

在圆形区域，如果三角形顶点的极坐标角度服从\(0\sim2\pi\)的连续均匀分布，极径服从\(0\sim r\)的连续均匀分布，锐角三角形出现概率与半径无关。

模拟如下：

半径 : \(r=1\)
锐角三角形数:2424840 , 占比: 0.242484
钝角三角形数:7575160 , 占比: 0.757516
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半径 : \(r=10\)
锐角三角形数:2424770 , 占比: 0.242477
钝角三角形数:7575230 , 占比: 0.757523
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半径 : \(r=100\)
锐角三角形数:2425798 , 占比: 0.2425798
钝角三角形数:7574202 , 占比: 0.7574202
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Ysu2008

在开放区域，\(x\in\left( -\infty{,}+\infty\right){,}\ y\in\left( -\infty{,}+\infty\right)\)，如果坐标值服从均值为\(0\)的正态分布，则锐角三角形出现概率与标准差之比有关。

有趣的是标准差 1:1 这种情况，锐角三角形出现概率“目测”应为 \(\frac{1}{4}\) .

模拟结果如下：

(一)标准差之比 1:1
坐标 x 标准差: 1.0 ,坐标 y 标准差: 1.0
锐角三角形数:2500389 , 占比: 0.2500389
钝角三角形数:7499611 , 占比: 0.7499611
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坐标 x 标准差: 5.0 ,坐标 y 标准差: 5.0
锐角三角形数:2498266 , 占比: 0.2498266
钝角三角形数:7501734 , 占比: 0.7501734
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坐标 x 标准差: 10.0 ,坐标 y 标准差: 10.0
锐角三角形数:2497883 , 占比: 0.2497883
钝角三角形数:7502117 , 占比: 0.7502117

(二)标准差之比 1:2
坐标 x 标准差: 1.0 ,坐标 y 标准差: 2.0
锐角三角形数:1923110 , 占比: 0.192311
钝角三角形数:8076890 , 占比: 0.807689
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坐标 x 标准差: 5.0 ,坐标 y 标准差: 10.0
锐角三角形数:1921784 , 占比: 0.1921784
钝角三角形数:8078216 , 占比: 0.8078216
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坐标 x 标准差: 10.0 ,坐标 y 标准差: 20.0
锐角三角形数:1922001 , 占比: 0.1922001
钝角三角形数:8077999 , 占比: 0.8077999

(三)标准差之比 1:5
坐标 x 标准差: 1.0 ,坐标 y 标准差: 5.0
锐角三角形数:712571 , 占比: 0.0712571
钝角三角形数:9287429 , 占比: 0.9287429
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坐标 x 标准差: 5.0 ,坐标 y 标准差: 25.0
锐角三角形数:712541 , 占比: 0.0712541
钝角三角形数:9287459 , 占比: 0.9287459
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坐标 x 标准差: 10.0 ,坐标 y 标准差: 50.0
锐角三角形数:711669 , 占比: 0.0711669
钝角三角形数:9288331 , 占比: 0.9288331
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Ysu2008

开放区域，\(x{,}y\in\left( -\infty{,}+\infty\right)\)，坐标值服从连续分布，且位置参数为\(0\)、尺度、形状参数均相等，锐角三角形出现概率与分布类型有关。

模拟结果：

正态分布
锐角三角形数:2500389 , 占比: 0.2500389
钝角三角形数:7499611 , 占比: 0.7499611

柯西分布
锐角三角形数:1666389 , 占比: 0.1666389
钝角三角形数:8333611 , 占比: 0.8333611

拉普拉斯分布
锐角三角形数:2218118 , 占比: 0.2218118
钝角三角形数:7781882 , 占比: 0.7781882

综上测试表明，锐角三角形出现概率与区域、区域形状、顶点坐标值“任取”的方式均有关。

cgl_74

多謝Ysu2008提供的计算机的计算结果，相当于给了一个判断标尺。

1. 这个题目，最简单直接的思路，就是在一个边长为z的正方形内，均匀分布3个点，计算锐角三角形的概率，然后对z取极限到+∞。但是这个虽然思路简单，但是积分算法太复杂，很难搞。
2. 我找到我的算法逻辑问题了。不能把A点固定到原点，B点固定在X轴上。这样的设定与A，B，C均匀分布的题意是矛盾的，太简单化处理了。从我的计算中，B点距离A点的距离分布的概率就出现矛盾。B点的概率积分和不为1，而是小于了1.
3. 用直角坐标系，与用极坐标系，结果是一样的，这个与用什么坐标系没有关系，只要假设是均匀分布的就对了。但是Ysu2008假设的是极坐标角度服从0∼2π的连续均匀分布，极径服从0∼r的连续均匀分布，这个是不符合在平面上均匀分布的假设的。因为这样的话，每个以极点为圆心的圆，不同的半径的圆，概率是一样的。但是，均匀分布的条件下，大圆的概率要比小圆的概率大。
4. 当然了，假设不同的概率分布条件，得出的结果当然不一样。按原题意，最符合的结果就是长宽比1:1的正方形区域的那个，锐角三角形约为0.2748.

我的错误结果就先不删除了，放那里。有时间我再想想，是否有稍微简单些的计算方法出来。

cgl_74

旧帖重提：我找到该题目的问题所在了。