ABCD 中，AD∥BC，AB=AC，DF⊥B，DF 与 AC 交于 E，BE=2DF，BE 平分 ∠ABC，求 ∠BAD

popo987654

不知要在哪作辅助线，求问几何.

王守恩

不要作辅助线呀？
1，\(记：AE=1\ \ CE=k\ \ ∠CAD=\theta\ \ 则\)
\(AD=\cos(\theta)\ \ DE=\sin(\theta)\)
\( CF=k\cos(\theta)\ \ FE=k\sin(\theta)\)
2，\(由\frac{AE}{CE}=\frac{AB}{CB}\)
\(\frac{1}{k}=\frac{1+k}{2(1+k)\cos(\theta)}\ \ \ \ \ k=2\cos(\theta)\)
3，\(由EF^2+FB^2=BE^2\)
\((k\sin(\theta))^2+((2+k)\cos(\theta))^2=((2+2k)\sin(\theta))^2\)
\(\theta=\frac{\pi}{5}\ \ \ ∠BAD=\pi-\frac{\pi}{5}=\frac{4\pi}{5}\)

uk702

顶起，求几何的证法。

王守恩

王守恩 发表于 2021-7-10 08:39
不要作辅助线呀?
1，\(记：AE=1\ \ CE=k\ \ ∠CAD=\theta\ \ 则\)
\(AD=\cos(\theta)\ \ DE=\sin(\theta ...

这样不是挺好吗(记∠CAD=2a，见2楼)？！
\(2S_{△ABC}=CA*AB*∠CAB=(1+k)*(1+k)*\sin(4a)\)
\(2S_{△ABC}=CA*EB*∠CEB=(1+k)*2(1+k)\sin(2a)*\sin(3a)\)
\(2S_{△ABC}=CA*CB*∠ACB=(1+k)*k(1+k)*\sin(2a)\)
\(2S_{△ABC}=CB*FD*∠CFD=k(1+k)*(1+k)\sin(2a)*\sin(\pi/2)\)
\(即\ (1+k)(1+k)\sin(4a)=(1+k)2(1+k)\sin(2a)\sin(3a)=(1+k)k(1+k)\sin(2a)\)
\(化简\ \cos(2a)=\sin(3a)\ \ \ 得\ a=\frac{\pi}{(2+3)*2}\)

uk702

王守恩 发表于 2021-10-4 07:39
这样不是挺好吗？！
\(2S_{△ABC}=CA*AB*∠CAB=(1+k)*(1+k)*\sin(4a)\)
\(2S_{△ABC}=CA*EB*∠CEB=(1+k ...

为什么我的式子跟你的并不一样？

\( 记∠BAC=4α，\ AE=1，\ EC=k，\ 则 \)
\( ∠ACB=90°-2α，\ ∠EBC=45°-α，\ ∠AEB = 135°-3α，\ ∠CAD=90°-2α \)
\( CB=2 \times AC \times sin(2α) = 2(1+k) sin(2α)  \)
\( BE=2DF=2(DE+EF)=2(cos(2α) + kcos(2α))=2(1+k)cos(2α) \)

\( 2S_{ΔABC}=AB \times AC \times sin(∠BAC)= (1+k) \times (1+k) \times sin(4α) \)
\( 2S_{ΔABC}=CA \times EB \times sin(∠AEB) = (1+k) \times 2(1+k)cos(2α) \times sin(135°-3α)  \)
\( 2S_{ΔABC}=CA \times CB \times sin(∠ACB) = (1+k) \times 2(1+k) sin(2α) \times cos(2α) \)

uk702

uk702 发表于 2021-10-4 11:34
为什么我的式子跟你的并不一样？

\( 记∠BAC=4α，\ AE=1，\ EC=k，\ 则 \)

好的，了解！确实够简单方便，我重新组织了下。

\( 记∠BAC=4α，\ AE=1，\ EC=k，\ 则  \)
\( ∠ACB=90°-2α，\ ∠EBC=45°-α，\ ∠AEB = 135°-3α，\ ∠CAD=90°-2α  \)
\( CB=2 \times AC \times sin(2α) = 2(1+k) sin(2α)   \)
\( BE=2DF=2(DE+EF)=2(cos(2α) + kcos(2α))=2(1+k)cos(2α)  \)

\( 2S_{ΔABC}=AB \times AC \times sin(∠BAC) = (1+k) \times (1+k) \times sin(4α)  \)
\( 2S_{ΔABC}=CA \times EB \times sin(∠AEB) = (1+k) \times 2(1+k)cos(2α) \times sin(135°-3α)   \)

\( 由于 sin(4α)=2cos(2α)sin(2α)，综合上两式，  \)
\( ∴sin(2α)=sin(135°-3α)   \)
\( ∴ 2α=135°-3α \ \ or ... （其它无合理解）  \)
\( ∴ α=27°   \)
\( ∴ ∠BAD=∠BAC+∠CAD=4α+90°-2α=90°+2α=144°  \)

王守恩

uk702 发表于 2021-10-4 11:34
为什么我的式子跟你的并不一样？

\( 记∠BAC=4α，\ AE=1，\ EC=k，\ 则 \)

根据梯形面积。
\((1+k)\sin(2a)*(\cos(2a)+k(1+k))\)
\(=(1+k)\sin(2a)*((1+k)\cos(2a)+2\cos(2a)+k\cos(2a))\)
\(=2(1+k)\sin(2a)*(1+k)*\sin(3a)+(1+k)*\cos(2a)*\sin(2a)\)
\(化简\ \ k=2\cos(2a)=2\sin(3a)\ \ \ 得\ a=\frac{\pi}{(2+3)*2}\)