一个简单的求极限的疑问

unununun

在一个微积分读本上看到的,求:
\(\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{\ln(1-7h^2)}{5h^2}\)
书上的答案是,分母上换成\(-7h^2\),即:
\(\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{\ln(1-7h^2)}{5h^2}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{\ln(1-7h^2)}{-7h^2}\times\frac{-7h^2}{5h^2}=\frac{-7}{5}\)
但是,原式子要转成:\(\lim\limits_{-7h^2\rightarrow 0}\frac{\ln(1-7h^2)}{-7h^2}\times\frac{-7h^2}{5h^2}\)才对,\(-7h^2恒小于等于0\),上式只有左极限,没有右极限,极限值应该不存在的,怎么会求出值呢?

liangchuxu

h->0的本质特征未变。

xfhaoym

给你个东西：

unununun

xfhaoym 发表于 2021-7-10 17:33
给你个东西：

恩,用等价无穷小替换可以解.
书里的意思是用导数解:
\(\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{\ln(1-7h^2)}{5h^2}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{\ln(1+(-7h^2))-\ln(1)}{-7h^2}\times\frac{-7}{5}\)
设:\(f(x)=\ln(x),那么:f^`(x)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\ln(x+\Delta x)-\ln(x)}{\Delta x}=\frac{1}{x}\).
\(\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{\ln(1-7h^2)}{5h^2}=f^`(1)\times\frac{-7}{5}=\frac{1}{1}\times\frac{-7}{5}=\frac{-7}{5}\).
如果\(\Delta x=-7h^2,那么f^`(x)应该是\lim\limits_{-7h^2\rightarrow 0}\frac{\ln(x-7h^2)-\ln(x)}{-7h^2}\),不应该是\(\lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{\ln(x-7h^2)-\ln(x)}{-7h^2}\),上述解法不应该成立的.
如果书里边的解法是正确的,就是我对函数的导数和极限的转换理解有偏差,就是不知道偏差在什么地方.

liangchuxu

提个人一些看法，供参考。

unununun

liangchuxu 发表于 2021-7-10 21:49
提个人一些看法，供参考。

我好像明白了,f(x)在x=1处的导数肯定是存在的,我只是对求导到求极限之间的转换方式还没理解透彻.

xfhaoym

unununun 发表于 2021-7-10 18:16
恩,用等价无穷小替换可以解.
书里的意思是用导数解:
\(\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{\ln(1-7h^2) ...

这个极限是上下都为“0”所以可以用罗式法则，上下求导。那个图是经过证明了的，可以简化一点而已。