数学中国

 找回密码
 注册
搜索
热搜: 活动 交友 discuz
查看: 6403|回复: 7

若 x1,x2,x3,x4,x5 都是不大于 5 的正整数,方程 x1+x2+x3+x4+x5=15 有几个不同的解?

[复制链接]
发表于 2021-7-16 23:06 | 显示全部楼层 |阅读模式
请问代数,想学习方法和思路

本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x
发表于 2021-7-17 01:00 | 显示全部楼层
容斥原理 或者母函数
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-7-17 01:19 | 显示全部楼层
母函数解释
原问题等于
\((x^1+x^2+x^3+x^4+x^5)^5\) 求\(x^{15}\)的系数

回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-7-17 01:26 | 显示全部楼层
(tieba.baidu.com/p/7303993126)
这个 百度贴 的6 7楼 是同样差不多的解题思路 虽然都是我
(新手 不能发链接  这样可以不)

点评

谢谢您給出的思路方向  发表于 2021-7-17 21:49
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-7-17 18:39 | 显示全部楼层
用上面 lihp2020 介绍的母函数法,可以求得符合本题要求的正整数解共有 381 组。

下面,我不用母函数法,用排列组合也可求得同样的解答:




本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x

点评

谢谢老师提供不同的思路  发表于 2021-7-17 21:49
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-7-17 21:47 | 显示全部楼层
本帖最后由 lihp2020 于 2021-7-17 21:53 编辑

陆老师的 的解释 就是容斥原理
这类问题的解法
前提知识
在每个对象的供给是无限的情况下,k个不同对象的r组合个数等于C(r+k-1,r)由于组合的性质也等于C(r+k-1,k-1)
(叫做多重集合的组合)

对于方程 就可以解释
x1+x2+...xk=r 有多少非负整数解C(r+k-1,r)


而原题是正整数 利用替代思想引入一些变量
y1=x1-1,y2=x2-1 y3 =x3-1 ……
就有
y1+y2+y3+y4+y5=10 (对于y就是0<=y<=4)
全集 |S| =C(10+5-1,5-1)(k=5,r=10)


一个不满足 就是 y1+y2+y3+y4+y5=10 其中一个yi>4

令其中一个ui=yi-5 其他 ui=yi
u1+u2+u3+u4+u5=10-5 =6非负整数解 C(6+5-1,5-1)
ui中的i 就是任意5个选1个就是C(5,1)
-----------
两个不满足  就是 y1+y2+y3+y4+y5=10 其中两个个yi>4
令其中两个ui=yi-5 其他 ui=yi
u1+u2+u3+u4+u5=10-5 -5=0非负整数解C(0+5-1,5-1)
ui中的i  就是任意5个选2个就是C(5,2)
-----------
三个不满足
令其中三个ui=yi-4 其他 ui=yi
u1+u2+u3+u4+u5=10-5 -5-5=-5非负整数解 无解
结果C(10+5-1,5-1)-C(5,1)C(6+5-1,5-1)+C(5,2)C(0+5-1,5-1)- 0
和 陆老师的是一样  
但是 我想解释 容斥原理 结束条件 要么找完 要么一定要找到空集

空集 也是找完了 同时满足n个条件是空集  再加一个条件 也是空集   

由于组合的性质也等于C(m,n) 如果n<0 C(m,n)  一定等于0

这种题可以总结成
x1+x2+...xk=r  有多少[a,b] 的整数解
\( \binom{k}{0} \binom{r-ak}{k-1}-\binom{k}{1} \binom{r-ak-(b-a+1)}{k-1}+\binom{k}{2} \binom{r-ak-2(b-a+1)}{k-1}...\\+(-1)^i\binom{k}{i} \binom{r-ak-i(b-a+1)}{k-1}...\\+(-1)^k\binom{k}{k} \binom{r-ak-k(b-a+1)}{k-1}\)
回复 支持 反对

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2025-7-12 01:36 , Processed in 0.086705 second(s), 17 queries .

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表