若 x1,x2,x3,x4,x5 都是不大于 5 的正整数，方程 x1+x2+x3+x4+x5=15 有几个不同的解？

popo987654

请问代数,想学习方法和思路

lihp2020

容斥原理 或者母函数

lihp2020

母函数解释
原问题等于
\((x^1+x^2+x^3+x^4+x^5)^5\) 求\(x^{15}\)的系数

lihp2020

（tieba.baidu.com/p/7303993126）
这个 百度贴 的6 7楼 是同样差不多的解题思路 虽然都是我
（新手 不能发链接  这样可以不）

luyuanhong

用上面 lihp2020 介绍的母函数法，可以求得符合本题要求的正整数解共有 381 组。

下面，我不用母函数法，用排列组合也可求得同样的解答：

lihp2020

陆老师的 的解释 就是容斥原理
这类问题的解法
前提知识
在每个对象的供给是无限的情况下，k个不同对象的r组合个数等于C（r+k-1，r）由于组合的性质也等于C（r+k-1，k-1）
(叫做多重集合的组合)
对于方程 就可以解释
x1+x2+...xk=r 有多少非负整数解C（r+k-1，r）


而原题是正整数 利用替代思想引入一些变量
y1=x1-1,y2=x2-1 y3 =x3-1 ……
就有
y1+y2+y3+y4+y5=10 (对于y就是0<=y<=4)
全集 |S| =C（10+5-1，5-1）（k=5，r=10）


一个不满足 就是 y1+y2+y3+y4+y5=10 其中一个yi>4

令其中一个ui=yi-5 其他 ui=yi
u1+u2+u3+u4+u5=10-5 =6非负整数解 C（6+5-1，5-1）
ui中的i 就是任意5个选1个就是C(5,1)
-----------
两个不满足  就是 y1+y2+y3+y4+y5=10 其中两个个yi>4
令其中两个ui=yi-5 其他 ui=yi
u1+u2+u3+u4+u5=10-5 -5=0非负整数解C（0+5-1，5-1）
ui中的i  就是任意5个选2个就是C(5,2)
-----------
三个不满足
令其中三个ui=yi-4 其他 ui=yi
u1+u2+u3+u4+u5=10-5 -5-5=-5非负整数解 无解
结果C（10+5-1，5-1）-C(5,1)C（6+5-1，5-1）+C(5,2)C（0+5-1，5-1）- 0
和 陆老师的是一样  
但是 我想解释 容斥原理 结束条件 要么找完 要么一定要找到空集
空集 也是找完了 同时满足n个条件是空集  再加一个条件 也是空集   

由于组合的性质也等于C(m,n) 如果n<0 C(m,n)  一定等于0

这种题可以总结成
x1+x2+...xk=r  有多少[a,b] 的整数解
\( \binom{k}{0} \binom{r-ak}{k-1}-\binom{k}{1} \binom{r-ak-(b-a+1)}{k-1}+\binom{k}{2} \binom{r-ak-2(b-a+1)}{k-1}...\\+(-1)^i\binom{k}{i} \binom{r-ak-i(b-a+1)}{k-1}...\\+(-1)^k\binom{k}{k} \binom{r-ak-k(b-a+1)}{k-1}\)