关于散度是“通量密度”证明中的一个困惑！

wufaxian

请看上图蓝线部分：
1、速度变成速率为什么单位从“每秒米”变成“每秒平方米”了呢？是因为Δx么？如果是因为乘以了Δx，那也不是乘以Δx速率变速度了！

2、F(x,y).(-j)Δx=-N(x,y)Δx  

这说明在底边。向量场函数F 在 纵向的投影与 -j的夹角是180度。因此才会得到-N(x,y)Δx  。因此才有了后面“求和”出现N(x,y+Δy)-N(x,y)=\(\frac{\vartheta N}{\vartheta y}\ \Delta y\)

但是如果在底边，向量场函数F 纵向的投影与 -j的夹角是0度（如下图（矩形中间也是有向量的，图省事，没画））。那么F(x,y).(-j)Δx= +N(x,y)Δx  后面“求和”出现N(x,y+Δy)+N(x,y)。那么N(x,y+Δy)+N(x,y)还等于\(\frac{\vartheta N}{\vartheta y}\ \Delta y\)么？
N(x,y+Δy)+N(x,y)/Δy  不再是一个偏导\(\frac{\vartheta N}{\vartheta y}\)的形式了！！！！

zytsang

偏微分的符号是 \(\partial\)，\(\LaTeX\)代码是

1. \partial

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\(\mathbf{i}\) 和 \(\mathbf{j}\) 是二维平面的单位向量，可以表示为
\[\mathbf{i}=\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix},\quad\mathbf{j}=\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}\]
所以单位向量的点积为
\[\mathbf{i}\cdot\mathbf{i}=\mathbf{j}\cdot\mathbf{j}=1\]
\[\mathbf{i}\cdot\mathbf{j}=\mathbf{j}\cdot\mathbf{i}=0\]
底边的通量密度是向量的点积：
\[\begin{aligned}
\textbf{F}(x,y)\cdot (-\mathbf{j})\Delta x
&= [M(x,y)\mathbf{i}+N(x,y)\mathbf{j}]\cdot (-\mathbf{j})\Delta x\\
&= M(x,y)\underbrace{\mathbf{i}\cdot (-\mathbf{j})}_{\mathbf{i}\cdot\mathbf{j}=0} \Delta x
+N(x,y)\underbrace{\mathbf{j}\cdot(-\mathbf{j})}_{\mathbf{j}\cdot\mathbf{j}=1}\Delta x \\
&=-N(x,y)\Delta x
\end{aligned}\]
向量场函数 \(\mathbf{F}\) 已经包含了二维平面上的所有角度的向量。

wufaxian

zytsang 发表于 2021-7-28 22:26
偏微分的符号是 \(\partial\)，\(\LaTeX\)代码是

\(\mathbf{i}\) 和 \(\mathbf{j}\) 是二维平面的单位向 ...

谢谢回复。问题在黑体字部分

zytsang

wufaxian 发表于 2021-7-28 23:10
谢谢回复。问题在黑体字部分

\(\textbf{F}\) 沿纵向的投影是和单位向量 \(\mathbf{j}\) 同向的，所以和 \(-\mathbf{j}\) 的夹角必然为180度，不可能为0度。这个是由题目的定义 \(\textbf{F}(x,y)= M(x,y)\mathbf{i}+N(x,y)\mathbf{j}\) 所决定的。

物理上如果在底边存在往下流动的速度场，表明在底边的边界上，标量函数 \(N(x,y)<0\)。此时纵向的单位向量 \(\mathbf{j}\) 并没有改变，依然向上。

所以 \(\mathbf{F}(x,y)\cdot(-\mathbf{j})\Delta x = -N(x,y)\Delta x\) 必然成立，不可能存在 \(\mathbf{F}(x,y)\cdot(-\mathbf{j})\Delta x = +N(x,y)\Delta x\) 的情况

wufaxian

zytsang 发表于 2021-7-28 23:39
\(\textbf{F}\) 沿纵向的投影是和单位向量 \(\mathbf{j}\) 同向的，所以和 \(-\mathbf{j}\) 的夹角必然 ...

我看了一下题目没有说M 和N在定义域内大于0。那么在不了解函数表达式的情况下无法排出在定义域内给定任意（x，y）时N(x,y)是一个负数。更进一步如果F(x,y)就是上图那样的一个场函数呢？（矩形中间也是有向量的，图省事，没画）

zytsang

wufaxian 发表于 2021-7-29 00:48
我看了一下题目没有说M 和N在定义域内大于0。那么在不了解函数表达式的情况下无法排出在定义域内给 ...

\(\mathbf{F}\) 本來就是一个场函数。把原点设在矩形的中心，可以写出一个例子满足如图所示的场：
\[M(x,y)=x\]
\[N(x,y)=y\]
\[\mathbf{F}(x,y)=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}\]
在底边，\(y<0\)，并且
\[\mathbf{F}(x,y)\cdot(-\mathbf{j})\Delta x = -y\Delta x\]

对于任意场函数 \(\mathbf{F}\)，以下都成立
\[\mathbf{F}(x,y)\cdot(-\mathbf{j})\Delta x = -N(x,y)\Delta x\]

wufaxian

zytsang 发表于 2021-7-29 14:19
\(\mathbf{F}\) 本來就是一个场函数。把原点设在矩形的中心，可以写出一个例子满足如图所示的场：
\[M ...

在底边y本身就小于0了。也就是说在底边F(x,y)与-j的夹角小于90度，所以此时“yΔx本身就小于零”了。那么-yΔx就大于0了。F(x,y).（-j）Δx=yΔx  才对吧？？？？不知道我的想法对不对？

zytsang

wufaxian 发表于 2021-7-29 15:43
在底边y本身就小于0了。也就是说在底边F(x,y)与-j的夹角小于90度，所以此时“yΔx本身就小于零”了。那么 ...

我觉得我解释不了，另请高明吧。我也不应该举这个例子。