在 1～6n 中任意取 6 个不同整数，使得这 6 个数之和能被 6 整除，有几种不同取法？

独舟星海

有这样的规律，最少的比次少的少(n-1)n个;最多的比次多的多\(n^2\)个。再有一组关系式可获得公式表达式。

独舟星海

6的拆分共11种，这11种，共有462种组合方法（不同余数），从周期2开始，每过5个周期，总抽取法数可以整除462。但是11种拆分中，余数组合法没有一致的情况（每种方法的和模6的余数分布情况），6=1+1+1+1+1+1，即每种余数抽取1个数，它们的和模6余数是3。最末1种，6=6，即1种余数中抽取6个数，有6种取法，每种余数是1种取法。这6种取法，其和模6余数都是0。其他拆分方法，余数组合情况等有网络再发出。

白新岭

从1→6n中任意取6个不同整数，使得这6个数之和模6余数是2（或4）的，有几种不同取法？
在luyuanhong教授给的公式表达式的基础上，减\(P_n^2\)=n*(n-1)即可。

白新岭

从1→6n中任意取6个不同整数，使得这6个数之和模6余数是1（或5）的，有几种不同取法？
如果有了余数为3的不同取法数，则在其基础上减\(n^2\)即可。

天山草

这个问题发布在【数学研发论坛】上以后，经 mathe  大神研究，最终给出了一个完美的统一公式，此公式对于任何正整数 m、n  都是成立的。



此公式的 mathematica 计算代码是：

1. Clear["Global`*"];
   
2. m = 6; n = 30;
   
3. d = Divisors[m];
   
4. s = 0;
   
5. Do[a[i] =
   
6.    1/m ((-1)^(m - d[[i]]) EulerPhi[m/d[[i]]])*
   
7.     Binomial[\[LeftFloor]d[[i]]*n/m\[RightFloor], d[[i]]];
   
8.   s = s + a[i], {i, 1, Length[d]}];
   
9. Print["F (", n, "，", m, ") = ", s];

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运行结果是：

1. F (30，6) = 98900

复制代码

luyuanhong

楼上 天山草 的帖子很好！已收藏。