数学中国

 找回密码
 注册
搜索
热搜: 活动 交友 discuz
查看: 3966|回复: 3

已知数列满足 a(n)=5a(n-1)-6a(n-2)+2×3^(n-1),a(1)=11,a(2)=49,求 a(n) 通项公式

[复制链接]
发表于 2021-8-2 11:28 | 显示全部楼层 |阅读模式


这种题可以用特征方程去解吗?要怎样设?

本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x
发表于 2021-8-2 15:24 | 显示全部楼层
递推关系为
\[\begin{cases}
a(n)=5a(n-1)-6a(n-2)+2\cdot3^{n-1} \\
a(1)=11\\
a(2)=49
\end{cases}\]

对于齐次递推关系
\[a_1(n)=5a_1(n-1)-6a_1(n-2)\]
齐次的特征方程为
\[r^2-5r+6=0\implies r=2,3\]
齐次的通解为
\[a_1(n)=A\cdot2^n+B\cdot3^n\]
其中 \(A\), \(B\) 为待定常数。

对于非齐次递推关系
\[a(n)=5a(n-1)-6a(n-2)+2\cdot3^{n-1}\]
根据其非齐次项 \(2\cdot3^{n-1}\) ,并要求特解与通解 \(a_1(n)\) 线性无关,因此猜测特解的形式为
\[a_2(n)=C\cdot n3^n\]
特解需满足非齐次递推关系,所以
\[C\cdot n3^n=5C\cdot (n-1)3^{n-1}-6C\cdot (n-2)3^{n-2}+2\cdot3^{n-1}\]
\[(9Cn-15Cn+15C+6Cn-12C-6)\cdot3^{n-2}=0\]
\[C=2\]
所以特解为
\[a_2(n)=2n3^n\]
原题的解答为齐次的通解加非齐次的特解
\[a(n)=a_1(n)+a_2(n)=A\cdot2^n+B\cdot3^n+2n3^n\]
代入初始条件
\[a(1)=11,a(2)=49\]
可得原题解答为
\[a(n)=2^n+3^n+2n3^n\]

点评

谢谢您的讲解,我再找些资料看看  发表于 2021-8-2 22:36
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-8-2 15:35 | 显示全部楼层
这类数列可以特征方程去解决:x(n)=a(n)+d(n).
a(n)是x(n+1)=px(n+1)+qx(n)的通解。
d(n)是x(n+1)=px(n+1)+qx(n)+f(n)的一个特解。
d(n)根据f(n),有几个条件。所以挺复杂!
有一本书叫“递推数列”可以看看。
回复 支持 反对

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2025-7-11 04:09 , Processed in 0.103862 second(s), 17 queries .

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表