已知数列满足 a(n)=5a(n-1)-6a(n-2)+2×3^(n-1)，a(1)=11，a(2)=49，求 a(n) 通项公式

popo987654

这种题可以用特征方程去解吗？要怎样设？

zytsang

递推关系为
\[\begin{cases}
a(n)=5a(n-1)-6a(n-2)+2\cdot3^{n-1} \\
a(1)=11\\
a(2)=49
\end{cases}\]

对于齐次递推关系
\[a_1(n)=5a_1(n-1)-6a_1(n-2)\]
齐次的特征方程为
\[r^2-5r+6=0\implies r=2,3\]
齐次的通解为
\[a_1(n)=A\cdot2^n+B\cdot3^n\]
其中 \(A\), \(B\) 为待定常数。

对于非齐次递推关系
\[a(n)=5a(n-1)-6a(n-2)+2\cdot3^{n-1}\]
根据其非齐次项 \(2\cdot3^{n-1}\) ，并要求特解与通解 \(a_1(n)\) 线性无关，因此猜测特解的形式为
\[a_2(n)=C\cdot n3^n\]
特解需满足非齐次递推关系，所以
\[C\cdot n3^n=5C\cdot (n-1)3^{n-1}-6C\cdot (n-2)3^{n-2}+2\cdot3^{n-1}\]
\[(9Cn-15Cn+15C+6Cn-12C-6)\cdot3^{n-2}=0\]
\[C=2\]
所以特解为
\[a_2(n)=2n3^n\]
原题的解答为齐次的通解加非齐次的特解
\[a(n)=a_1(n)+a_2(n)=A\cdot2^n+B\cdot3^n+2n3^n\]
代入初始条件
\[a(1)=11,a(2)=49\]
可得原题解答为
\[a(n)=2^n+3^n+2n3^n\]

xfhaoym

这类数列可以特征方程去解决：x(n)=a(n)+d(n).
a(n)是x(n+1）=px(n+1)+qx(n)的通解。
d(n)是x(n+1）=px(n+1)+qx(n）+f(n)的一个特解。
d(n)根据f(n)，有几个条件。所以挺复杂！
有一本书叫“递推数列”可以看看。