求由 xOz 平面中的圆周 C 绕 z 轴旋转一周形成的旋转环面（轮胎面）的参数方程

wufaxian

题如上图，下面是证明。我知道方程确实是轮胎的方程。显然是标准的球参数方程在旋转之前向x轴右移了R，然后开始绕z轴旋转。但是下图严格证明过程的逻辑我却没看懂。

luyuanhong

一般来说，如果已知一条曲线 C 在 xOz 面中的参数方程为 x=f(u) ，z=g(u) 。

那么，曲线 C 绕 z 轴旋转一周得到的曲面的参数方程就是 x=f(u)cosv ，y=f(u)sinv ，z=g(u) 。

在本题中，圆周 C 在 xOz 面中的参数方程为 x=R+rcosu ，z=rsinu 。

所以，圆周 C 绕 z 轴旋转一周得到的曲面（轮胎面）的参数方程就是

x=(R+rcosu)cosv ，y=(R+rcosu)sinv ，z=rsinu 。