这个积分换元法为什么要改变积分上限？

wufaxian

请看上图，第一步到第二步 dθ 换成d2θ，只需要在外面乘一个1/2就可以了（事实上也确实乘了1/2），为什么要把积分上限改成4π呢？
另外，假如换元需要把dx 换成d\(x^{2 }\)，如果换元前积分上下限是1，-1。那么换元后积分上下限如何变动呢？需要分段处理么？

luyuanhong

本来积分变量是 θ ，积分下限是 θ=0 ，积分上限是 θ=2π 。

现在作积分变量代换，令 2θ=u ，θ=u/2 。dθ=d(u/2)=1/2 du ，出去一个 1/2 。

积分下限变成 u/2=θ=0 ，就是 u=0 ；积分上限变成 u/2=θ=2π ，就是 u=4π 。

wufaxian

luyuanhong 发表于 2021-8-8 19:28
本来积分变量是 θ ，积分下限是 θ=0 ，积分上限是 θ=2π 。

现在作积分变量代换，令 2θ=u ，θ=u/2  ...

但如果是（sinθ)^2 cosθ dθ  变成（sinθ)^2dsinθ 积分上下限同样需要改变么？我记得好像不变也可以解出正确答案。我就在想换元法如果最终目的是求出解析解。那么上下限不变也没关系吧？只要最后把结果中的u再换成原来的值就好了。

liangchuxu

根据方法而异