证明：(1+1／x)^x 是 x 的递增函数

liangchuxu

曹子昂 发表于 2021-8-16 09:55
对，有点矛盾!

上述证明过程修改一下，利用反证法。哪里存在矛盾，望指正。

liangchuxu

simpley 发表于 2021-8-16 09:25
ln x的导数是1/x,这已用到了结果，形成循环证明

上述证明过程修改一下，利用反证法。哪里存在循环论证，望指正。

曹子昂

利用反证法应该就可以了👍👍👍

simpley

liangchuxu 发表于 2021-8-16 04:33
上述证明过程修改一下，利用反证法。哪里存在循环论证，望指正。

你只要对ln x形式的函数求导，就形成循环证明。你可以看一下ln x的导数是怎么求的

simpley

lim (ln(x+Δx)-ln x)/Δx=lim (1/Δx)ln((x+Δx)/x)=lim ln(1+Δx/x)^(1/Δx)
=lim ln(1+Δx/x)^(x/Δx)(1/x)
因为(1+Δx/x)^(x/Δx)=e
上式=1/x
所以，凡是ln x 形式的导数推理过程已用到(1+1/x)^x=e

liangchuxu

simpley 发表于 2021-8-16 15:50
lim (ln(x+Δx)-ln x)/Δx=lim (1/Δx)ln((x+Δx)/x)=lim ln(1+Δx/x)^(1/Δx)
=lim ln(1+Δx/x)^(x/Δx)( ...

有点不理解。

simpley

首先要证明（1+1/x)单调递增，再证它有上界，从而证得它有极限e,才能证明lnx的导数。所以，在证明1+1/x)单调递增时不能用ln x形式的导数。

xfhaoym

二阶导数>0,原函数就是增函数。