n 为偶数时，f(n)=1，n 为奇数时，f(n)=2，S(x)=∑(n≤x)f(n)，求 lim(x→+∞)S(x)／x

杨协成

对于正整数 \(n\in\mathbb{Z}_{>0}\)，定义以下函数：
\[f(n):=\begin{cases}
1, \quad n\text{ 是偶数}\\
2, \quad n\text{ 是奇数}
\end{cases}\]
对于正实数 \(x\in\mathbb{R}_{>0}\)，定义
\[S(x):=\sum_{n\leq x}f(n)\]
为所有满足 \(0<n\leq x\) 的 \(f(n)\) 的求和。

求极限：
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{S(x)}{x}\]

lihp2020

观察所得  是1.5？？

cgl_74

可以严谨地证明，极限是1.5. x是奇数，是偶数，是非正整数的正实数，这3种情况下，极限都是1.5. 证略。