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楼主: analyst

求定积分 ∫(0,1)[(x^x)^(x^x)^(x^x)^…]dx

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发表于 2021-8-24 21:05 | 显示全部楼层
Lambert W函数定义为 \(f(z)=ze^z\) 的反函数,即:
\begin{alignat*}{3}
& & W(ze^z)&=z& \\
&\implies& W(z)\cdot e^{W(z)}&=z& \\
&\implies& e^{-W(z)}&=\frac{W(z)}{z}&
\end{alignat*}
所以
\begin{alignat*}{3}
& & y&=(x^x)^{(x^x)^{\cdot\cdot^{\cdot\cdot^{\cdot\cdot}}}}& \\
&\implies& y&=(x^x)^y& \\
&\implies& \ln{y}&=\ln{(x^x)^y}& \\
&\implies& \ln{y}&=y\ln{x^x}& \\
&\implies& \ln{y}&=e^{\ln{y}}\ln{x^x}& \\
&\implies& -e^{-\ln{y}}\ln{y}&=-\ln{x^x}& \\
&\implies& W(-e^{-\ln{y}}\ln{y})&=W(-\ln{x^x})& \\
&\implies& -\ln{y}&=W(-\ln{x^x})& \\
&\implies& y&=e^{-W(-\ln{x^x})}& \\
&\implies& y&=\frac{W(-\ln{x^x})}{-\ln{x^x}}& \\
&\implies& y&=\frac{W(-x\ln{x})}{-x\ln{x}}& \\
\end{alignat*}

点评

回贴全是我想要的,谢谢给出细节处补充  发表于 2021-8-24 23:43
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发表于 2021-8-24 23:03 | 显示全部楼层
哦,按照指数运算顺序,应该优先计算指数部分,从顶部开始优先计算。我的证明把计算次序搞反了。然后需要证明那个无穷极限是收敛并存在的(这是可以证明的,略),然后求这个极限的值,就是解那个用极限规律定义的等式的方程,就是上面公式中提到的y值,然后再积分。如何积分就用到了那个所谓的W函数,具体细节原理就需要再分析。整个逻辑思路就是这个样子了。
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发表于 2021-9-9 20:27 | 显示全部楼层
本帖最后由 cgl_74 于 2021-9-9 20:47 编辑

1、为了把这个问题搞清楚,我学习了一下Lambert W函数。W函数确实对于指数方程的求解很有帮助,对于很难求解的问题可以用无穷级数去求解,打开了问题解决的想象空间。
2、本题涉及的知识点很多,绝不止一个Lambert W函数。我把此题的详细求解过程写下来,供大家交流讨论。



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发表于 2021-9-9 22:57 | 显示全部楼层
楼上 cgl_74 的解答已收藏。
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