求定积分 ∫(0,1)[(x^x)^(x^x)^(x^x)^…]dx

analyst · 发表于 2021-8-21 23:34

求积分
\[\int_0^1 (x^x)^{(x^x)^{(x^x)^\cdots}} \mathrm{d}x\]

xfhaoym · 发表于 2021-8-23 07:45

这不是难为大家吗？

小fisher · 发表于 2021-8-23 09:05

xfhaoym 发表于 2021-8-23 07:45
这不是难为大家吗？

y=(x^x)^y还是y=y^(x^x)？

Future_maths · 发表于 2021-8-23 10:54

2楼搞错了。

杨协成 · 发表于 2021-8-23 22:13

数值积分大概是0.822467033424113218...

Mathematica代码如下（迭代40次）

f[x_,k_Integer]:=Nest[Power[x^x,#]&,1,k];
NIntegrate[f[x,40],{x,0,1},WorkingPrecision->20]

复制代码

cgl_74 · 发表于 2021-8-23 22:45

本帖最后由 cgl_74 于 2021-8-24 23:17 编辑

本题证明有误！指数运算规则是先计算指数部分，即优先从顶部开始计算。而不是优先从底部开始计算。

———————————————————————————————————————————

我尝试证明下，该积分的值为1. 方法供交流讨论。

xfhaoym · 发表于 2021-8-24 08:34

..................................

Future_maths · 发表于 2021-8-24 12:26

永远 · 发表于 2021-8-24 12:31

本帖最后由永远于 2021-8-24 12:44 编辑

杨协成发表于 2021-8-23 22:13
数值积分大概是0.822467033424113218...

Mathematica代码如下（迭代40次）

https://zhuanlan.zhihu.com/p/25062265

Lambert W函数简介

https://www.zhihu.com/question/314931062

请问y=xe∧x的反函数朗伯W函数的推导过程需要用到哪些数学知识？

Future_maths · 发表于 2021-8-24 12:37

W(x)是个什么函数？

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