求定积分 ∫(0,1)[(x^x)^(x^x)^(x^x)^…]dx

杨协成

Lambert W函数定义为 \(f(z)=ze^z\) 的反函数，即：
\begin{alignat*}{3}
& & W(ze^z)&=z& \\
&\implies& W(z)\cdot e^{W(z)}&=z& \\
&\implies& e^{-W(z)}&=\frac{W(z)}{z}&
\end{alignat*}
所以
\begin{alignat*}{3}
& & y&=(x^x)^{(x^x)^{\cdot\cdot^{\cdot\cdot^{\cdot\cdot}}}}& \\
&\implies& y&=(x^x)^y& \\
&\implies& \ln{y}&=\ln{(x^x)^y}& \\
&\implies& \ln{y}&=y\ln{x^x}& \\
&\implies& \ln{y}&=e^{\ln{y}}\ln{x^x}& \\
&\implies& -e^{-\ln{y}}\ln{y}&=-\ln{x^x}& \\
&\implies& W(-e^{-\ln{y}}\ln{y})&=W(-\ln{x^x})& \\
&\implies& -\ln{y}&=W(-\ln{x^x})& \\
&\implies& y&=e^{-W(-\ln{x^x})}& \\
&\implies& y&=\frac{W(-\ln{x^x})}{-\ln{x^x}}& \\
&\implies& y&=\frac{W(-x\ln{x})}{-x\ln{x}}& \\
\end{alignat*}

cgl_74

哦，按照指数运算顺序，应该优先计算指数部分，从顶部开始优先计算。我的证明把计算次序搞反了。然后需要证明那个无穷极限是收敛并存在的（这是可以证明的，略），然后求这个极限的值，就是解那个用极限规律定义的等式的方程，就是上面公式中提到的y值，然后再积分。如何积分就用到了那个所谓的W函数，具体细节原理就需要再分析。整个逻辑思路就是这个样子了。

cgl_74

1、为了把这个问题搞清楚，我学习了一下Lambert W函数。W函数确实对于指数方程的求解很有帮助，对于很难求解的问题可以用无穷级数去求解，打开了问题解决的想象空间。
2、本题涉及的知识点很多，绝不止一个Lambert W函数。我把此题的详细求解过程写下来，供大家交流讨论。

luyuanhong

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