矩阵与向量相乘到底转置还是不转置？

wufaxian

请看上图，矩阵左乘，右乘是不同的。矩阵A进行了转置。但是A却没有打转置符号T。为什么不打转置符号？
在看下图，无论左乘还是右乘，矩阵都没转置。所以矩阵与向量左乘变右乘到底转不转置？

luyuanhong

矩阵（向量可以看作是矩阵）相乘，不管是左乘还是右乘，与转置不转置没有关系。

转置是矩阵（包括向量）在参加相乘以前所作的变换。

如果矩阵（包括向量）在参加相乘以前作过转置，就以转置后的形式参加相乘。

如果矩阵（包括向量）在参加相乘以前没有作过转置，就以不转置的形式参加相乘。

例如上面的 iA ，向量 i 没有做过转置，是一个行向量，矩阵 A 也没有作过转置，它们相乘就按照

没有转置过的形式参加相乘。

又例如上面的 Ai^T ，矩阵 A 没有作过转置，向量 i 作过转置，由行向量变成了列向量 i^T ，它们

相乘，就是不转置的 A 与转置得到的 i^T 相乘。

luyuanhong

wufaxian

luyuanhong 发表于 2021-8-26 13:22

lu老师根据你在二楼的回帖，并结合我对三楼帖子的理解产生两个新的疑惑：



针对上图，该书给出以下结论：
从向量对矩阵的作用方面上，我们可以这样理解上述的乘式给出的操作意义上的内涵：

1、 x 单位坐标向量 i 左乘一个矩阵就是把矩阵 x 轴行向量（第一行）给取出来；类似的， y 轴单位坐标向量 j 左乘一个矩阵就是把矩阵 y 轴行向量（第二行）给取出来； z 坐标单位向量 k 左乘一个矩阵就是把矩阵 z 轴行向量（第三行）给取出来；

2、 x 坐标单位向量 i 右乘一个矩阵就是把矩阵 x 轴列向量（第一列）给取出来；类似的，y坐标单位向量 j 右乘一个矩阵就是把矩阵 y 轴列向量（第二列）给取出来； z 坐标单位向量 k 右乘一个矩阵就是把矩阵 z 轴列向量（第三列）给取出来； 另外，从矩阵对向量的作用上，我们又可以从几何图形上这样理解其作意义上的内涵：

3、 一个矩阵右乘 x 坐标单位向量 i ，就是把向量 i 的图形缩放旋转变换，变换后的向量就是这 个矩阵的 x 轴上的行向量（第一行）；类似的，一个矩阵右乘 y 坐标单位向量 j ，就是把向量 j 的图形缩放旋转变换，变换后的向量就是这个矩阵的 y 轴上的行向量（第二行）；一个 矩阵右乘 z 坐标单位向量 k ，就是把向量 k 的图形缩放旋转变换，变换后的向量就是这个 矩阵的 z 上的行向量（第三行）；

4、 一个矩阵左乘 x 坐标单位向量 i ，就是把向量 i 的图形缩放旋转变换，变换后的向量就是这 个矩阵的 x 轴上的列向量（第一列）；类似的，一个矩阵左乘 y 坐标单位向量 j ，就是把向量 j 的图形缩放旋转变换，变换后的向量就是这个矩阵的 y 轴上的列向量（第二列）；一个 矩阵左乘 z 坐标单位向量 k ，就是把向量 k 的图形缩放旋转变换，变换后的向量就是这个 矩阵的 z 轴上的列向量（第三列）；



——————————-请看以上下划线部分。这个结论是不是给错了。以第1项结论和第2项结论对比为例。究竟取出的是矩阵x轴向量的第一行？还是第一列，与采用“左乘”还是“右乘”没有关系吧。取出第一列的根本原因是i先转置然后再去右乘A，如果i没有转置直接右乘矩阵A，那么取出的还是矩阵A的第一行，对么？所以上述四条结论是错误的！无论左乘还是右乘，对单位向量i的“作用”应该是无差别的，都是将其变换到（\(a_{1 } ，a_{2 }，a_{3 }\)）。矩阵向量乘法满足交换律，请问我的理解对么？

luyuanhong

矩阵相乘运算与点乘积运算不同，点乘积左右可以交换，左乘与右乘，结果是一样的。

矩阵相乘不满足交换律，左乘与右乘，结果不一定相同。

luyuanhong

在第 4 楼的例子中，i=[1,0,0] 是行向量。i 左乘 A 得到 iA=[a1,a2,a3] ，可以得到 A 的第一行。

将 i 转置后，右乘 A 得到 Ai^T=[a1,b1,c1]^T ，可以得到 A 的第一列。

如果只是将 i 转置，再去左乘 A ，即 i^T A ，因为 i^T 的列数不等于 A 的行数，所以，这样的

矩阵相乘运算，是不允许的，当然也是不可能得到 A 的第一列的。

如果 i 不转置，去右乘 A ，即 Ai ，因为 A 的列数不等于 i 的行数，所以，这样的

矩阵相乘运算，也是不允许的，当然也是不可能得到 A 的第一行的。

由此可见，只有行向量 i 不转置，左乘  A ，才会得到 A 的第一行。

只有行向量 i 转置成为列向量，右乘 A ，才会得到 A 的第一列。

第 4 楼文中对 Ai^T ，只讲到“i 右乘”，没有讲到“i 转置”，确实有些疏忽。

但如果只考虑 i 转置不转置，不管左乘还是右乘，认为相乘结果总是一样的，那也是不对的。