为什么方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零？

wufaxian

请看上图蓝线部分。这个结论我觉得不对。
由克莱姆法则可知，系数行列式是解的分母。解的表达式分母都为0了。解怎么可能是“非零”？（不用想方程是不是齐次方程，其次或非齐次方程，只影响分子行列式）

齐次方程，也就是Ax=0。x向量经过矩阵A的变换成了0向量。矩阵A的行列式等于0，说明矩阵张成的空间（体积或面积等于0）为0。可能向量共线或共面，或者A是0向量组成的矩阵。如果共线的情况，x只有是0向量才能保证经过A变换后还是0向量(截图中方程是其次方程)吧？

综上，怎么会得出“ 方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零”的结论？所以我错哪里了？

liangchuxu

wufaxian 发表于 2021-8-29 16:19
谢谢你的回复。
既然克莱姆法则不适用。那就不从克莱姆法则的角度讨论了

这里要分清楚：讨论A的行向量----三向量线性相关，于是共面等；作为变换A，将未知向量X变换为零向量，由于|A|=0，几何上称其为退化变换----将非零向量或零向量变换为零向量。其解有很多个，即原先X不确定。

liangchuxu

分子分母均为0，克莱姆法则不能用。

wufaxian

liangchuxu 发表于 2021-8-29 15:56
分子分母均为0，克莱姆法则不能用。

谢谢你的回复。
既然克莱姆法则不适用。那就不从克莱姆法则的角度讨论了

你列举例子我看懂了。

但是从几何的角度是否可以想通这个问题呢？如果A是一个三阶矩阵。|A|=0 说明三维行向量（或列向量） 共面或者共线，导致向量围成的体积为0。 Ax=0，因为这一个三维向量x经过A的变换变成了0向量。据此我们是否能推测出x在变换前必是一个0向量。也就是x有0解。而不是非0解。

这个想法哪一步错了？

wufaxian

liangchuxu 发表于 2021-8-29 16:40
这里要分清楚：讨论A的行向量----三向量线性相关，于是共面等；作为变换A，将未知向量X变换为零向量，由 ...

退化变换---------点醒我了。多谢。从几何角度我想明白了假设原来x向量是(1,1,1),经过矩阵A
\(\begin{Bmatrix}
0&1&0\\
1&0&0\\
-1&-1&0
\end{Bmatrix}\)
的变换。x被从一个三维向量拍扁成二维向量。且是0向量。这是因为前两个行向量相加恰好等于负的第三个行向量！因此(1,1,1)在这个新空间必然等于0.所有原空间与向量x共线的向量kx ，经过A退化变换后都会等于0向量。因此有无数个解，x不能确定。


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方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零。但是行列式等于0 不能导致必然存在非零解，对吧。行列式等于0只会导致x不能确定（x可能有无穷多非零解，也有可能有零解。）


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行列式等于0必然--->退化变换。？
行列式等于0必然---->变换后的空间降维？

如果以上两个命题都成立，那么：

这个退化是只退一维（三维退成二维，体积为零，面积不为零），还是有可能退掉二维，变成一维（不光体积为0，面积也为0）？  

liangchuxu

wufaxian 发表于 2021-8-29 17:05
退化变换---------点醒我了。多谢。从几何角度我想明白了假设原来x向量是(1,1,1),经过矩阵A
\(\begin{ ...

1）齐次线性方程组系数矩阵A，|A|=0则方程组必定有非零解，当然包括零解。
2）|A|=0----退化变换：如果方程组为二元，作为变换A，将一个直线变换为原点（0，0）。若方程组三元，变换A可能将三维空间的平面区域变换为原点（0，0，0）---此时A的秩为2，自由变量个数为1，也可能将三维空间的直线变换为原点（0，0，0)----A的秩为1，自由变量个数2。