λ 乘以单位矩阵得到的结果是什么？

wufaxian

请看上图。公式5-13
前文提到的公式5-7内容如下：
A a = \(\lambda\) a   。特征向量a经过矩阵A的变换后 得到的新向量等于\(\lambda\)倍的a ，\(\lambda\)是个实数。
如果公式5-7 可以改写成上图中的公式5-13 那么必然意味着\(\lambda\)=\(\lambda\)E

\(\lambda\)*E 代表什么？E应该是个单位矩阵。那么\(\lambda\)在这里是个向量？还是实数？如果是实数\(\lambda\)*E 为什么还等于\(\lambda\)？

杨协成

那么必然意味着λ=λE

这句不正确。\(\lambda\) 是个数，\(\lambda\mathbf{E}\) 是个矩阵。

公式5-7 到公式5-13的推导如下：
\[\begin{aligned}
&\mathbf{A}\vec{a}=\lambda \vec{a} \\
\implies &\mathbf{A}\vec{a}=\lambda \mathbf{E} \vec{a} \\
\implies &\lambda\mathbf{E}\vec{a}-\mathbf{A}\vec{a}=\vec{0} \\
\implies & (\lambda\mathbf{E}-\mathbf{A})\vec{a}=\vec{0} \\
\end{aligned}\]
其中的关键步骤是要意识到 \(\vec{a}=\mathbf{E}\vec{a}\)，其中 \(\mathbf{E}\) 是单位矩阵。一个单位矩阵 \(\mathbf{E}\) 左乘一个向量 \(\vec{a}\)，结果是同个向量 \(\vec{a}\)

liangchuxu

概念必须分清。