求下列无穷级数之和：1／2020+805／(2020×2021)+805×806／(2020×2021×2022)+…

Bathan_Tam

求教化简的方法

luyuanhong

王守恩

luyuanhong 发表于 2021-8-31 02:04

\(\frac{b}{a(a+1)}+\frac{b(b+1)}{a(a+1)(a+2)}+\frac{b(b+1)(b+2)}{a(a+1)(a+2)(a+3)}+\frac{b(b+1)(b+2)(b+3)}{a(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)}+......\)

\(=\frac{1}{a-b}\bigg(\frac{b(a-b)}{a(a+1)}+\frac{b(b+1)(a-b)}{a(a+1)(a+2)}+\frac{b(b+1)(b+2)(a-b)}{a(a+1)(a+2)(a+3)}+\frac{b(b+1)(b+2)(b+3)(a-b)}{a(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)}+......\bigg)\)

\(=\frac{1}{a-b}\bigg(\frac{b((a+1)-(b+1))}{a(a+1)}+\frac{b(b+1)((a+2)-(b+2))}{a(a+1)(a+2)}+\frac{b(b+1)(b+2)((a+3)-(b+3))}{a(a+1)(a+2)(a+3)}+\frac{b(b+1)(b+2)(b+3)((a+4)-(b+4))}{a(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)}+......\bigg)\)

\(=\frac{1}{a-b}\bigg(\big(\frac{b}{a}-\frac{b(b+1)}{a(a+1)}\big)+\big(\frac{b(b+1)}{a(a+1)}-\frac{b(b+1)(b+2)}{a(a+1))(a+2)}\big)+\big(\frac{b(b+1)(b+2)}{a(a+1)(a+2)}-\frac{b(b+1)(b+2)(b+3)}{a(a+1)(a+2)(a+3)}\big)+\big(\frac{b(b+1)(b+2)(b+3)}{a(a+1)(a+2)(a+3)}-\frac{b(b+1)(b+2)(b+3)(b+4)}{a(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)}\big)+...\bigg)\)

\(=\frac{1}{a-b}\bigg(\frac{b}{a}-\frac{b(b+1)(b+2)(b+3)(b+4)(b+5)......}{a(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)(a+5)......}\bigg)=\frac{1}{a-b}\bigg(\frac{b}{a}-0\bigg)=\frac{1}{a-b}*\frac{b}{a}=\frac{b}{a(a-b)}\)

王守恩

王守恩 发表于 2021-8-31 13:05
\(\frac{b}{a(a+1)}+\frac{b(b+1)}{a(a+1)(a+2)}+\frac{b(b+1)(b+2)}{a(a+1)(a+2)(a+3)}+\frac{b(b+1)(b+ ...

\(\frac{b}{a}+\frac{b(b+1)}{a(a+1)}+\frac{b(b+1)(b+2)}{a(a+1)(a+2)}+\frac{b(b+1)(b+2)(b+3)}{a(a+1)(a+2)(a+3)}+......\)

\(=\frac{1}{a-b-1}\bigg(\frac{b(a-b-1)}{a}+\frac{b(b+1)(a-b-1)}{a(a+1)}+\frac{b(b+1)(b+2)(a-b-1)}{a(a+1)(a+2)}+\frac{b(b+1)(b+2)(b+3)(a-b-1)}{a(a+1)(a+2)(a+3)}+......\bigg)\)

\(=\frac{1}{a-b-1}\bigg(\frac{b(a-(b+1))}{a}+\frac{b(b+1)((a+1)-(b+2))}{a(a+1)}+\frac{b(b+1)(b+2)((a+2)-(b+3))}{a(a+1)(a+2)}+\frac{b(b+1)(b+2)(b+3)((a+3)-(b+4))}{a(a+1)(a+2)(a+3)}+......\bigg)\)

\(=\frac{1}{a-b-1}\bigg(\big(b-\frac{b(b+1)}{a}\big)+\big(\frac{b(b+1)}{a}-\frac{b(b+1)(b+2)}{a(a+1))}\big)+\big(\frac{b(b+1)(b+2)}{a(a+1)}-\frac{b(b+1)(b+2)(b+3)}{a(a+1)(a+2)}\big)+\big(\frac{b(b+1)(b+2)(b+3)}{a(a+1)(a+2)}-\frac{b(b+1)(b+2)(b+3)(b+4)}{a(a+1)(a+2)(a+3)}\big)+...\bigg)\)

\(=\frac{1}{a-b-1}\bigg(b-\frac{b(b+1)(b+2)(b+3)(b+4)(b+5)......}{a(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)(a+5)......}\bigg)=\frac{1}{a-b-1}\bigg(b-0\bigg)=\frac{b}{a-b-1}\)

王守恩

王守恩 发表于 2021-8-31 21:18
\(\frac{b}{a}+\frac{b(b+1)}{a(a+1)}+\frac{b(b+1)(b+2)}{a(a+1)(a+2)}+\frac{b(b+1)(b+2)(b+3)}{a(a+1) ...

如果您认为这是在刷题。恭喜您！长高了！

\(\frac{b}{a}+\frac{b(b+1)}{a(a+1)}+\frac{b(b+1)(b+4)}{a(a+1)(a+4)}+\frac{b(b+1)(b+4)(b+7)}{a(a+1)(a+4)(a+7)}+......\)

\(=\frac{b}{a}\bigg(1+\frac{1}{a-b-3}\bigg(\frac{(b+1)(a-b-3)}{a+1}+\frac{(b+1)(b+4)(a-b-3)}{(a+1)(a+4)}+\frac{(b+1)(b+4)(b+7)(a-b-3)}{(a+1)(a+4)(a+7)}+......\bigg)\bigg)\)

\(=\frac{b}{a}\bigg(1+\frac{1}{a-b-3}\bigg(\frac{(b+1)((a+1)-(b+4))}{a+1}+\frac{(b+1)(b+4)((a+4)-(b+7))}{(a+1)(a+4)}+\frac{(b+1)(b+4)(b+7)((a+7)-(b+10))}{(a+1)(a+4)(a+7)}+......\bigg)\bigg)\)

\(=\frac{b}{a}\bigg(1+\frac{1}{a-b-3}\bigg(\big(b+1-\frac{(b+1)(b+4)}{a+1}\big)+\big(\frac{(b+1)(b+4)}{a+1}-\frac{(b+1)(b+4)(b+7)}{(a+1)(a+4))}\big)+\big(\frac{(b+1)(b+4)(b+7)}{(a+1)(a+4)}-\frac{(b+1)(b+4)(b+7)(b+10)}{(a+1)(a+4)(a+7)}\big)+...\bigg)\bigg)\)

\(=\frac{b}{a}\big(1+\frac{1}{a-b-3}\big(b+1-\frac{(b+1)(b+4)(b+7)......}{(a+1)(a+4)(a+7)......}\big)\big)=\frac{b}{a}\big(1+\frac{1}{a-b-3}\big(b+1-0\big)\big)=\frac{(a-2)b}{a(a-b-3)}\)

王守恩

王守恩 发表于 2021-9-1 07:54
如果您认为这是在刷题。恭喜您！长高了！

\(\frac{b}{a}+\frac{b(b+1)}{a(a+1)}+\frac{b(b+1)(b+4)}{a ...

若a,b,c是正整数，且a>b，试证：

\(\frac{b-c}{a-b}=\frac{b-c}{a+c}+\frac{(b-c)(b+c)}{(a+c)(a+2c)}+\frac{(b-c)(b+c)(b+2c)}{(a+c)(a+2c)(a+3c)}+\frac{(b-c)(b+c)(b+2c)(b+3c)}{(a+c)(a+2c)(a+3c)(a+4c)}+......\)

luyuanhong

王守恩

luyuanhong 发表于 2021-9-4 17:47

已知 a>b>0，试证：
\(\frac{b+1}{a-b}=\frac{b+1}{a+2}+\frac{(b+1)(b+2)}{(a+2)(a+3)}+\frac{(b+1)(b+2)(b+3)}{(a+2)(a+3)(a+5)}+\frac{(b+1)(b+2)(b+3)(b+5)}{(a+2)(a+3)(a+5)(a+8)}+......\)

已知 a>b>0，试证：
\(\frac{b+1}{a-b}=\frac{b+1}{a+1}+\frac{(b+1)(b+1)}{(a+1)(a+2)}+\frac{(b+1)(b+1)(b+2)}{(a+1)(a+2)(a+3)}+\frac{(b+1)(b+1)(b+2)(b+3)}{(a+1)(a+2)(a+3)(a+5)}+\frac{(b+1)(b+1)(b+2)(b+3)(b+5)}{(a+1)(a+2)(a+3)(a+5)(a+8)}+......\)

luyuanhong

FGNBGHJUOI

很好的题目，爱了