矩阵可逆是否意味着三个基向量必然相互独立？

wufaxian

请看上图红线部分。矩阵的可逆，是否意味着矩阵三个列向量必然相互线性独立？矩陣三个列向量相互独立是否必然意味着：被变换到新空间的向量b在原空间必然存在“唯一”的向量x与之对应？也就是x b一一对应？进而导致方程有唯一的解？

矩陣三个列向量相互独立是否必然意味着：矩阵行列式不为0？

矩阵可逆<——->矩阵列向量相互独立<———->旧空间的向量x与新空间向量b一一对应<———->方程的解唯一

矩阵列向量相互独立<———->矩阵行列式必不为0


以上五个命题是否互为充分必要条件？如果是，是否存在对应的定理？如果不是是否有例子可以证否？

liangchuxu

我来回答一下吧。Ax=b，|A|\(\ne\)0----A可逆---存在唯一解----A列向量组线性无关(因为Ax=0，仅有唯一零解)，这些都是具充要条件的逻辑关系。推理应该是很容易的。