各位数字中无 0，且对任何两个数字 a 和 b，a/b 及 b/a 皆非整数，这样四位数有几个？

popo987654

请教思路

波斯猫猫

题：若一个多位数没有数位0,而且对于任何2个数位a和b,有a/b及b/a皆不是整数,有几个四位数?

思路：显然这个四位数中不能有数字1，下面分五种情形。

（1）含数字2357与2579，其四位数的个数为2X4!=48（基础数字按从小到大排序。根据全排列）。

（2）含数字3457，3578，其四位数的个数为2X4!=48。

（3）含数字4567、4569、4579与4679，其四位数的个数为4X4!=96。

（4）含数字5678、5679、5689与5789，其四位数的个数为4X4!=96。

（5）含数字6789，其四位数的个数为4!=24。

综上，总个数为312。

luyuanhong

题  各位数字中无 0，且对任何两个数字 a 和 b，a/b 及 b/a 皆非整数，这样四位数有几个？

解  首先，四位数中各位数字都不会有重复。四个不同的数字，共有 4！种不同的排列。

    我们可以先不考虑数字的排列，只考虑组合，求出组合数后，再乘以 4！就可以了。

    其次，四位数中不会有数字 1 ，只要考虑 2～9 这 8 个数字的组合就可以了。

    下面分情况讨论：

（1）四个数字中最小一个数是 2 。其他三个数不能是偶数，只能是 3,5,7,9 ，而且 3,9 也不能

同时出现，只能是 3,5,7 或 5,7,9 与 2 作组合，有 2 种选法。

（2）四个数字中最小一个数是 3 。其他三个数不能是 6,9 ，只能是 4,5,7,8 ，而且 4,8 也不能

同时出现，只能是 4,5,7 或 5,7,8 与 3 作组合，有 2 种选法。

（3）四个数字中最小一个数是 4 。其他三个数中不能有 8 ，只能是 5,6,7,9 ，从这四个数字

中选三个与 4 作组合，有 4 种选法。

（4）四个数字中最小一个数是 5 。其他三个数只能是 6,7,8,9 ，从这四个数字中选三个与 5

作组合，有 4 种选法。

（5）四个数字中最小一个数是 6 。其他三个数是 7,8,9 ，只有 1 种可能。

    综合以上分析，可知共有 2 + 2 + 4 + 4 + 1 = 13 种不同的组合。

    再乘以 4! ，可知本题要求的答案为 13 × 4！ = 13 × 24 = 312 。

王守恩

最大数字必须是9, 8, 7。
9876
9875
9865
9765
9764
9754
9752
9654
8765
8753
7654
7543
7532
合计13*24=312