一道平几题的立几解法

波斯猫猫

题：若AD是锐角△ABC的边BC上的中线（AD=d），则4d＾2=2b＾2+2c＾2 - a＾2

（a、b、c分别是A、B、C的对应边）。
、
思路（图略）：考虑三条侧棱是两两垂直的三棱锥O-ABC，且OA=e，OB=r，OC=m，则三

个侧面都是直角三角形。连接OD， 由条件有OD=a/2（直角三角形斜边上的中点到三顶点的距

离相等）。在侧面各直角三角形中，由勾股定理有：

e＾2+r＾2=c＾2，e＾2+m＾2=b＾2，从而r＾2+m＾2=b＾2+c＾2-2e＾2=a＾2。

即b＾2+c＾2-2e＾2=a＾2。在Rt△AOD中（直线OA⊥平面OBC），

有e＾2+（a/2）＾2=d＾2。 消去e，整理得4d＾2=2b＾2+2c＾2 - a＾2。

注：人们的思路通常是把立几问题化归到一个或几个有联系的平面上，然后借助平几知识等予以

解决，但本思路恰好与之相反。浏览时可自配图。