矩阵LU分解的目的究竟是什么？

wufaxian

上面是原题，下图是解题过程。是对题中第一个2x2的矩阵进行分解。讨论在图二下方。（不是为了解题，而是为了搞明白LU分解的真是目的。得不到标准的L矩阵，分解就没有现实意义么？）




从上面第一部分解题过程来看，“分解”成功了。“LU分解”失败了。之所以失败了。是因为没有将A分解成下三角矩阵L和上三角矩阵U乘积的形式。如果用原题当中那样用一个下三角矩阵左乘一个上三角矩阵你就会得出d=0 dl=2的矛盾结果。因此LU分解不可能存在。

失败的根源是什么？是因为原矩阵A不需要消元，只需要换行就可以形成一个上三角矩阵U。而你强行要求一个下三角矩阵左乘U就必然会出现d=0，dl=2的矛盾！如果不追求“下三角”这种”形式“，矩阵A还是可以分解成 某矩阵*U的！

而课堂和课本上在讲授LU分解时都有一个假设理想矩阵A：“A不需要换行，只需要消元就可以变成上三角矩阵“！ LU分解的好处是什么呢？书面的理由是：
1、如果写成EA=U的形式，E是一串消元矩阵的乘积，里面包含杂项（确实如此）。
2、写成A=\(E^{-1}\)U=LU的形式，L中只包含消元的参数，不包含杂项（确实如此）。
3、减少计算量，一旦写成LU形式，当面对A是稀疏矩阵时，x=\(A^{-1}\)b的形式求x 比   x=LUb的形式计算量要大很多（这一点我还没有切身体会，不太明白。）

因为我学的不多。因此觉得前两条理由形式大于实质，第三条理由还没有体会。但是无论如何LU分解不是为了最求形式完美，而是为了追求实质的便利性而产生的。那么以本题为例，针对这种不需要消元，只需要换行就能产生U矩阵的情况，我们去讨论LU分解“存在性”的价值是什么呢？因为实际当中的矩阵有些就需要换行才能形成上三角矩阵U，因此他就不能分解出完美的下三角矩阵L，这重要么？难道不是下三角矩阵就不能减少计算量么？