求证:A^p+B^p≠C^p

费尔马1

求证:A^p+B^p≠C^p，其中，A、B、C为正整数，p为奇素数。
分析:若存在A^p+B^p=C^p，那么，就无需去证明A^p+B^p≠C^p，当然，目前A^p+B^p≠C^p，可以看作是猜想。则有以下式子:
①a^p+b^p=c
②a^p+b^p=c^2
③a^p+b^p=c^3
……………………
a^p+b^p=c^t
其中，t与p互质。
证明:由a^p+b^p=c^t，两边同乘以c^（py）得
(ac^y）^p+(bc^y）^p=c^(py+t)
因为t与p互质，所以，(py+t)不是p的倍数，
故，c^(py+t)不是一个p次幂，
因此，A^p+B^p≠C^p。
这时，假设 A^p+B^p=C^p，因为这时三个底数A、B、C含有公约数c^y，由于等式是同次幂，所以这三个底数可以直接约分，约去c^y，这样就有:A^p+B^p=C^p了，其中，A、B、C两两互质。但是，所有的式子都不能解出A^p+B^p=C^p，（A、B、C有公因数）
所以，也就不可能存在约分的情况，再者，假设本来就存在A^p+B^p=C^p，其中，A、B、C两两互质，这样，各个底数同时扩大相同的倍数，就得到A^p+B^p=C^p，其中，A、B、C有公因数。可见，开始的猜想A^p+B^p≠C^p，是正确的。证毕

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求证:A^p+B^p≠C^p，其中，A、B、C为正整数，p为奇素数。
本题的有关引理:不定方程x^a+y^b=z^c，a、b、c之中有两个数有公约数，另一个数与这两个数互质，方程有正整数解；当然，三个指数两两互质更有解。这是比尔方程的解的判断法。
解题时采用逐个排除法，所有的情况都不能得到正整数解（三个底数有公约数的解），因为是同次幂，有、无公约数是一样的效果，因为能约分，也能同时扩大倍数，因此，当有公约数时，方程没有解，就直接推出两两互质时，方程也无解。

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