L,M,N 是边长为 1 的正方形 ABCD 边上的三个点，求 ΔLMN 内切圆半径的最大值

uk702

如题，边长为 1 的正方形，L、M、N 为其边上的三个点，求三角形LMN的内切圆半径的最大值。

OToday

我有一个思路：
①以正方形ABCD中心O为圆心，使x，y轴分别平行两邻边。
②设三角形PQR三顶点分别为
\(\left( x_1{,}\ y_1\right){,}\left( x_2{,}y_2\right){,}\left( x_3{,}y_3\right)\),
均在区间[-0.5,0.5]内。
③用坐标表示面积S，周长C。
④根据r=2S/C，再应用基本不等式等求最大值。

猜测：取三角形的三个顶点分别为A，B以及CD中点，r最大。

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这道题我在数学吧里见过，答案忘记了，我刚才算了一下，以下两种的半径是最大的可能情况。

1、取三角形的三个顶点分别为A，B以及CD中点

2、一个顶点A和BC，CD上的各一点组成等边三角形

第一种情况的内接圆的半径是\(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\)

第二种情况的内接圆的半径是\(\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{6}\)

第一种情况的半径最大，第二种比第一种略小

盲猜：边长为 1 的正方形，L、M、N 为其边上的三个点，三角形LMN的内切圆半径的最大值是\(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\)

不选C、D为顶点的原因是因为正方形的对称性，加上画图，就会猜到以C、D为顶点的三角形的内接圆半径最小

luyuanhong