已知实数 x 与 y 满足 [2x+√(1+4x^2)][3y+√(1+9y^2)]=1 ，求 (2x+3y)^2 的值

Bathan_Tam · 发表于 2021-9-25 23:34

请教要怎样化简下去

波斯猫猫 · 发表于 2021-9-26 08:00

求出两个因式的倒数即可。

liangchuxu · 发表于 2021-9-26 09:03

本帖最后由 liangchuxu 于 2021-9-26 09:43 编辑

具体解答一下。

天山草 · 发表于 2021-9-26 12:22

本帖最后由天山草于 2021-9-26 12:29 编辑

以下按波斯猫猫和 liangchuxu 的思路整理一下：

因此所求的值等于零，没有其它解。

如果用 mathematica 求解，结果是 y=-2x/3，所以 2x+3y=0。见下图：

liangchuxu · 发表于 2021-9-26 15:01

天山草发表于 2021-9-26 12:22
以下按波斯猫猫和 liangchuxu 的思路整理一下：

4楼对的，我误看了。只有零解。

luyuanhong · 发表于 2021-9-26 15:53

楼上天山草的解答很好！已收藏。下面是我的另一种解法：

天山草 · 发表于 2021-9-28 11:12

本帖最后由天山草于 2021-9-28 11:14 编辑

另外还有下面这方法，它与 4# 楼实质相同：

天山草 · 发表于 2021-9-28 11:31

另外，下面这个证明中有毛病吗？

波斯猫猫 · 发表于 2021-9-28 21:47

题：已知实数 x 与 y 满足 [2x+√(1+4x^2)][3y+√(1+9y^2)]=1 ，求 (2x+3y)^2 的值。

思路：令tanθ=2x+√(1+4x^2)，其中0＜θ＜π/2，则由条件有cotθ=3y+√(1+9y^2)，

故1+4x^2=（tanθ-2x）^2，(1+9y^2=（cotθ-3y）^2，

即4x=tanθ-cotθ，3y=cotθ-tanθ，从而2(2x+3y)=0，也就是(2x+3y)^2=0.

波斯猫猫 · 发表于 2021-9-28 21:59

本帖最后由波斯猫猫于 2021-9-28 22:28 编辑

实际上，方程[2x+√(1+4x^2)][3y+√(1+9y^2)]=1 的参数方程可表为：

2x+√(1+4x^2)=tanθ，3y+√(1+9y^2)=cotθ，或4x=tanθ-cotθ，6y=cotθ-tanθ，

其中参数θ满足0＜θ＜π/2。

消去参数θ，得2x+3y=0，表明原方程实际表示直线2x+3y=0。

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已知实数 x 与 y 满足 [2x+√(1+4x^2)][3y+√(1+9y^2)]=1 ，求 (2x+3y)^2 的值

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