解决四色问题的五种方法浅析

雷明85639720

解决四色问题的五种方法浅析
雷  明
（二○二一年十月一日）

目前在研究四色问题中主要有五种力量，这五种力量所用的方法基本上都是统一的。这五种力量是：雷明与韩文镇的泰特猜想法，雷明与刘千栋的待着色顶点移动法，雷明的不可避免构形的可约法，张彧典的十折对称构形法和敢峰先生的终极图法。现根据各种方法对四色猜测研究的深入程度和解决问题的程度，分别叙述如下：
1、雷明与韩文镇的泰特猜想法：
说的是先证明了可3—边着色的地图——无割边的3—正则的平面图——都是可4—面着色的泰特猜想后（采用韩文镇的证明方法），再证明任意的3—正则平面图都是可3—边着色的（韩文镇给出了图，雷明总结出了如何证明的方法）。最后证明了四色猜测是正确的。
整个证明过程中，在证明泰特猜想时，用的图是从地图到其对偶图，在后来证明任何地图都是可3—边着色时，用的图又是地图——无割边的3—正则的平面图。
2、雷明与刘千栋的待着色顶点移动法：
说的是围栏顶点所占用的颜色数小于等于3时，待着色顶点是可以直接着色的；而围栏顶点所占用的颜色数等于4时，根据任何平面图中都至少存在着一个顶点的度是小于等于5的这一原则，一定可以把待着色顶点放到或移动到度是小于等于5的顶点上去。若放到或移到了度是小于等于3的顶点上时，待着色顶点的着色是没有问题的；若遇到的图是各顶点的度都是4（或5）的八面体（或二十面体）时，通过专门的对八面体（或二十面体）的可约性问题进行研究，也能得到这两个平面图（八面体和二十面体对应的平面图）是可4—着色的。最后也得到了四色猜测是正确的结论。
这种方法所用的图也是地图的对偶图——极大平面图。
3、雷明的不可避免构形可约法：
说的是把地图的对偶图——极大平面图分为：通过坎泊的空出颜色的颜色交换法，可空出颜色给待着色顶点着上的可约的K—构形；和不可直接用空出颜色的颜色交换法，不可直接空出颜色给待着色顶点的H—构形。然后再对H—构形根据构形中可能出现的经过了关键顶点的环形链的情况，再把H—构形分为有环形链的不可避免的H—构形和无环形链的不可避免的H—构形。把有环形链的构形再按环形链的种类，还可再分为有A—B环形链的构形和有C—D环形链的构形两种。分别用不同的方法进行解决，最后都一定会转化成为可约的K—构形。有环形链的构形用断链交换的方法进行解决（即把构形中的双环交叉链断开，使构形转化成可约的K—构形。因为双环交叉链是构成H—构形的必要条件）。有A—B环形链的构形用交换A—B环形链内、外的任何一条C—D链的方法解决，有C—D环形链的构形用交换C—D环形链内、外的任何一条A—B链的方法解决。无环形链的构形用转型交换的方法进行解决（转型交换的方法也有两种，一种是对角链的转型交换，一种是邻角链的转形交换）。证明了平面图的所有不可避免的构形都是可约的，当然四色猜测也就被证明是正确的了。
雷明的方法证明时用的也是极大平面图。
4、张彧典的十折对称构形法：
说的是按照含有5—度待着色顶点的埃雷拉E—图的“十折对称”性（我认为应是中心对称性）把构形分为十折对称构形和非十折对称的构形。对于十折对称的构形，用他叫做Z—换色程序（即雷明说的断链交换法）的方法解决。而对于非十折对称的构形中，对由E—族构形图中，去掉了某一个四色四边形的对角线，而转化来的共十五个Z—构形部分，用H—换色程序解决（且该类构形中含有环形链的构形，也可以用Z—换色程序进行解决。H—换色程序就是雷明的转型交换法中的一种——对角链转型交换法。），但是，张先生却并没有指出对于非十折对称的构形中的除了Z—构形之外的那部分构形怎么解决的问题。
张彧典的证明中也用的是极大平面图。
5、敢峰先生的终极图法：
说的是先用“四环演绎”（也即雷明所说的对角链转型）的方法构造出了埃雷拉E—图（敢峰先生叫它终极图），然后再解决终极图的可约性问题。敢峰先生解决终极图（也即E—图）用的是与张彧典先生解决E—图时相同的方法（也即雷明的断链交换法，但敢峰先生未进行命名）。除此之外，敢峰先生再没有研究终极图之外的任何一个构形的可约性问题，特别是不含有经过了关键顶点的环形链的构形的可约性的问题。相反，却只是研究了用“四环演绎”法（即雷明的对角链转型交换法）和“三环演绎”法（也即雷明的邻角链转型交换法）对他的终极图（也即E—图）的无穷周期循环转型的问题，却是一个永远也空出颜色来给待着色顶点着上的问题。另外，敢峰先生还研究了如何对终极图中的待着色顶点强行着色的问题，即先把围栏顶点中的某个顶点种颜色，先给待着色顶点着上，再用换色的办法把该围栏顶点着上应该着上的颜色。始终再没有研究过别的任何构形的可约性问题。
敢峰先生用的图也是极大平面图。
五种力量，五种方法虽各有不同，但最终都是用的地图的对偶图——极大平面图。所以说，五种方法都是可归为同一种方法的，都是对地图的对偶图——极大平面图的顶点着色法。

雷  明
二○二一年十月一日于长安

雷明85639720

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