证明：如果两个子向量空间互相垂直，那么它们的交集只有一个唯一的零向量

wufaxian

每个向量都走到列空间！左乘 A 不能做其他事情，除此之外：列空间中的每个向 量 b 来自行空间中的一个而且是唯一的向量\(x_{r}\) 。证明：若 A \(x_{r}\)  = A\(x_{r }^{ ,}\)，两者的差\(x_{r}\) - \(x_{r }^{ ,}\)会在零空间中，它也会在行空间中，因为 \(x_{r}\) 与\(x_{r }^{ ,}\)都来自行空间。两者的 差必须为零向量，这是因为零空间与行空间互相垂直，因此 \(x_{r}\) =\(x_{r }^{ ,}\)。


请看下划线部分，将“垂直”视为原因。真正的原因应该是0向量是两空间（行空间和零）唯一交集”吧？互相垂直不是行空间解唯一的原因吧？

luyuanhong

下面证明：如果两个向量子空间互相垂直，那么它们的交集只有唯一的一个零向量。

我估计，这个结论，在你看的书中，早就讲到过。所以，书中只要用“两个子空间垂直”

作为理由，就可以不言而喻地说明“两个子空间的交集只有唯一零向量”。

wufaxian

luyuanhong 发表于 2021-10-3 10:56
下面证明：如果两个向量子空间互相垂直，那么它们的交集只有唯一的一个零向量。

我估计，这个结论，在你 ...

是的书中有过铺垫。正交补空间。之所以是空间，则必包含0向量。而他们的交集只有原点，因为只有0向量才可以和自己正交。