全部列相加得到一列的零，全部行相加得到一行的 1，这样的矩阵存在么？

wufaxian

全部列相加得到一列的零，全部行相加得到一行的 1，这样的矩阵存在么？

我尝试写了几个矩阵觉得不可以。但是不知道是否容易从四个字空间的正交关系入手证明。题目前半句说明“全1”在零空间中。后半句说行向量的全1线性组合结果是全1向量。但是这种关系似乎与零向量空间和行空间C(\(A^{ T}\)）之间正交补的关系也没有矛盾。所以符合条件的矩阵为什么不存在呢？

luyuanhong

一个矩阵，如果它的全部列相加，等于一个各个分量都是 0 的零列向量，说明这个矩阵中所有

元素相加之和，等于一个零列向量中各个分量 0 相加之和，即等于零。

如果这个矩阵全部行相加，等于一个各个分量都是 1 的行向量，说明这个矩阵中所有元素相加

之和，等于一个行向量中各个分量 1 相加之和，显然不会等于零。

这就产生了矛盾，所以这样的矩阵是不存在的。