V,W 分别是 R^n 的 p 维和 q 维子空间，证明：p+q＞n 时，V,W 的交集中必有非零向量

wufaxian

问题：至\(R^{n}\)的一个 p 维的子空间 V 与一个 q 维的子空间 W，什么样的 p + q 的不等式确保 V 与 W 的交集是非零向量? 这些子空间不可能正交。

答案：A p-dimensional and a q-dimensional subspace of \(R^{n}\) share at least a line if p + q > n.

(The p + q basis vectors of V and W cannot be independent, so same combination of the basis vectors of V is also a combination of the basis vectors of W .)

这是“ 四个子空间的正交性质”章节的课后题。但是我看不出与正交性，正交补的性质有什么关系。正交子空间的维度存在如下关系，r+(n-r)=n。也看不出这道题有什么关系。以几何的角度去思考，3维空间两个中子空间至少是2维的，他们的交集才有可能是非零向量。但是更高维的空间这个方法便不太好用了。因此该方法也无法用于证明。还请老师指导应该如何去理解这个结论。

或者可以这么考虑。p+q>n，就可以排出两个子空间是正交补的可能性。这确实成立。但是两个子空间不是正交补他们的交集就一定是非零向量么？这个结论在我看的书中并未出现过？所以这是一个定理么？

luyuanhong

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