比较 √(1+x)+√(1-x) 与 √(1+x^2)+√(1-x^2) 的大小

波斯猫猫 · 发表于 2021-10-6 17:26

本帖最后由波斯猫猫于 2021-10-7 09:55 编辑

比较√（1+x）+√（1-x）和√（1+x＾2）+√（1-x＾2）大小（原创）。

liangchuxu · 发表于 2021-10-6 21:27

转化为三角函数考虑。供参考

luyuanhong · 发表于 2021-10-6 22:43

liangchuxu · 发表于 2021-10-7 04:06

本帖最后由 liangchuxu 于 2021-10-7 04:09 编辑

抱歉，2#解答中补充：f(0)也使等式成立

波斯猫猫 · 发表于 2021-10-7 09:37

本帖最后由波斯猫猫于 2021-10-7 09:42 编辑

结论：√(1+x^2)+√(1-x^2) ≥√(1+x)+√(1-x) 。

证（分析法）：显然-1≤x≤1，欲证√(1+x^2)+√(1-x^2) ≥√(1+x)+√(1-x) ，

只需证[√(1+x^2)+√(1-x^2)]＾2≥[√(1+x)+√(1-x) ]＾2，

又只需证2+2√[(1+x^2)(1-x^2)]≥2+2√(1-x＾2），

又只需证√[(1+x^2)(1-x^2)]≥√(1-x＾2），（x=±1或x=0时，等号成立）

又只需证1+x^2≥1（x=0时，等号成立）。而此不等式恒成立，且上述步步可逆。故结论正确。

当然也可用反证法。

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