矩阵求逆运算会将n倍数值，变为1/n?为什么？

wufaxian

A=\(\begin{bmatrix}
0&1\\
1&2\\
2&0
\end{bmatrix}\)
一个矩阵运算(\(A^{T}\)A)\(^{-1}\)\(A^{T}\)
运算结果：
      -2/21           1/21          10/21   
       5/21           8/21          -4/21   

如果将A变成2A   
A=\(\begin{bmatrix}
0&2\\
2&4\\
4&0
\end{bmatrix}\)

同样的运算：

      -1/21           1/42           5/21   
       5/42           4/21          -2/21   

变为了原来的0.5

如果不进行数值运算。能推出这样的结果么？

我发现\(A^{T}\)*A 这一步运算 还是“线性”放大
A=\(\begin{bmatrix}
0&1\\
1&2\\
2&0
\end{bmatrix}\)

运算结果：

       5              2      
       2              5

A=\(\begin{bmatrix}
0&2\\
2&4\\
4&0
\end{bmatrix}\)

运算结果：
      20              8      
       8             20  

但是一旦参加了求逆运算，反而变成了1/4

A的运算结果

     5/21          -2/21   
      -2/21           5/21   


2A的运算结果
       5/84          -1/42   
      -1/42           5/84


请问这个结论除了数值运算验证。是否可以被证明呢？为什么求逆会导致矩阵变为原来的1/4

或者我们为了便于记忆，是否可以按照不太严谨的方式“证明”这个结论。高斯消元法在求逆的过程中要对主元行数乘再求差，以实现消元。所以被消元矩阵如果放大n倍，则逆矩阵就缩小1/n？
所以n*A 求逆 恒得到1/n*\(A^{-1 }\)

但是其他的矩阵运算：转置，矩阵相乘，相加，矩阵放大n倍，结果也放大n倍。对么？