如何算出\(\frac{2a-b-c}{3}\),\(\frac{2b-a-c}{3}\),\(\frac{2c-b-a}{3}\))在平.面

wufaxian · 发表于 2021-10-8 19:19

本帖最后由 wufaxian 于 2021-10-8 19:23 编辑

如何计算出(\(\frac{2a-b-c}{3}\),\(\frac{2b-a-c}{3}\),\(\frac{2c-b-a}{3}\)) 在x+y+z=0的平面上？当然事后肯定可以通过验证确定向量在平面上。但是事前如何计算出来他在平面上？

lihp2020 · 发表于 2021-10-8 20:33

观察可得 x y z 具有对称性 再继续猜

波斯猫猫 · 发表于 2021-10-8 21:17

问题：如何计算出(m，n，e) 在x+y+z=0的平面上？当然事后肯定可以通过验证确定向量在平面上。但是事前如何
计算出来他在平面上？

（1）如果(m，n，e) 表示点A，且m+n+e=0，则点A在平面x+y+z=0上。

（2）如果(m，n，e) 表示向量OA，且m+n+e=0，则点A在平面x+y+z=0上。

又因为平面x+y+z=0过原点，所以向量OA在平面x+y+z=0上。

wufaxian · 发表于 2021-10-8 21:22

波斯猫猫发表于 2021-10-8 21:17
问题：如何计算出(m，n，e) 在x+y+z=0的平面上？当然事后肯定可以通过验证确定向量在平面上。但是事前如何
...

假如向量的三个分量更加复杂一些。你无法一眼看出m+n+e=0。所以我开头就说“计算出”。既然无法一眼看出，你就不知道他是在一个平面上？还是在一个曲面上。或者在一个没有过零点的平面。

liangchuxu · 发表于 2021-10-8 21:36

与平面法向量垂直。

波斯猫猫 · 发表于 2021-10-8 21:44

假如向量的三个分量更加复杂一些。你无法一眼看出m+n+e=0。所以我开头就说“计算出”。既然无法一眼看出，你就不知道他是在一个平面上？还是在一个曲面上。或者在一个没有过零点的平面。

叙述还是不大清楚，也不大好举例。总之，点A（m，n，e）在平面或曲面f（x，y，z）=0上的充要条件是
f（m，n，e）=0。如果是向量在平面上，只需考虑起点和终点这两个点即可；如果是向量在曲面上，那就复杂多了，要看具体情况是怎样的。

wufaxian · 发表于 2021-10-8 21:58

liangchuxu 发表于 2021-10-8 21:36
与平面法向量垂直。

谢谢你的回复。
你的验算过程是对的。其实上来就将tpq代入平面方程也可以。我的主要困惑是题目一开始没有告诉我平面方程，我如何在没有提示的情况下，按部就班的计算出这个向量在什么图形上？他可能在某直线上，曲线上，曲面上，某不经过原点的平面上……

liangchuxu · 发表于 2021-10-8 22:02

个人认为，这道题概念叙述上有点欠缺----向量可移动。

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