随机选取 {1,2,3,4,5,6} 的三元子集 {a,b,c} ，求乘积 abc 的期望值

wintex

請問期望值

lihp2020

题 就很简单 C（6，3） =20 完全小于100  直接 找出这20个abc    就出来了

luyuanhong

题 随机选取 {1,2,3,4,5,6} 的三元子集 {a,b,c} ，求乘积 abc 的期望值。

解 共有下列 20 种等可能的三元子集 {a,b,c} ，它们的乘积 abc 如下：

   1×2×3=6 ， 1×2×4=8 ， 1×2×5=10 ，1×2×6=12 ，1×3×4=12 ，

   1×3×5=15 ，1×3×6=18 ，1×4×5=20 ，1×4×6=24 ，1×5×6=30 ，

   2×3×4=24 ，2×3×5=30 ，2×3×6=36 ，2×4×5=40 ，2×4×6=48 ，

   2×5×6=60 ，3×4×5=60 ，3×4×6=72 ，3×5×6=90 ，4×5×6=120 。

   乘积 abc 的期望值为

   E = (6+8+10+12+12+15+18+20+24+30+24+30+36+40+48+60+60+72+90+120)/20

    = 735/20 = 147/4 。

wintex

luyuanhong 发表于 2021-10-14 18:41
题  随机选取 {1,2,3,4,5,6} 的三元子集 {a,b,c} ，求乘积 abc 的期望值。

解 共有下列 20 种等可能的三 ...

請問陸老師

wintex

wintex 发表于 2021-10-15 00:15
請問陸老師

想請問

fungarwai

如果用Stirling numbers of the first kind

\(\displaystyle \sum_{0\le a<b<c\le n-1} abc=\left[n\atop n-3\right]=\binom{n}{2}\binom{n}{4}\)

\(\displaystyle \binom{7}{2}\binom{7}{4}=21\times 35=735\)

fungarwai

wintex 发表于 2021-10-15 00:15
請問陸老師

①就是韋達定理Vieta's formulas

②唔應該跳步,我估可能係咁
\([x^3](x+1)(x+2)(x+3)(x-3+7)(x-2+7)(x-1+7)\)
\(=[x^3](x^2-3^2+7(x+3))(x^2-2^2+7(x+2))(x^2-1^2+7(x+1))\)
\(=[x^3](x^2+7x+12)(x^2+7x+10)(x^2+7x+6)\)
\(=7^3+ 2\times 7\times (12+10+6)\)