再次学习敢峰先生的演绎法

雷明85639720

再次学习敢峰先生的演绎法
雷  明
（二○二一年十月三日）

1、四环演绎法：
敢峰先生在他2011年出版的《4CC和1＋1的证明》一书中，用了“四环演绎”的方法构造了一个所谓的“终极图”（什么意思不知道）。但这个图与1921年埃雷拉所给出的E—图是一模一样的，只是画图的方法不同。敢峰先生的终极图是用待着色顶点是显形的画法，而埃雷拉E—图用的是待着色顶点是隐形的画法。两图经拓朴变化后，都是可以相互转化的，所以我认为二者是同一个图。
什么是四环演绎呢？即把一个5—轮构形，从两个同色顶点中的一个顶点开始，连续的按一个方向（逆时针方向或顺时针方向）交换与其对角顶点的颜色构成的色链，该5—轮构形始终是在BAB型—DCD型—ABA型—CDC型—BAB型的四种类型的构形（逆时针演绎）或BAB型—CDC型—ABA型—DCD型—BAB型的四种类型的构形（顺时针演绎）间进行转化，所以叫“四环演绎”。
敢峰先生在用“四环演绎”构造终极图时，基图（如后面的图1）用的是含有双环交叉链A—C和A—D的、可以连续的移去两个同色B的可约的K—构形。用的是顺时针方向演绎。每交换一次，构形的峰点和两个同色顶点的位置和颜色都发生一次变化，双环交叉链中有一条链断开。这时，从另一个同色顶点到其对角顶点可能新生成连通链，也可能不会新生成连通链。若新生成了连通链，就继续进行同方向的转形；若不新生成连通链时，应该说目前的构形就是可约的K—构形，是可以连续的移去两个同色的，应结束演绎。但敢峰先生的目的是为了构造“终极图”，并没有移去两个同色，结束演绎；而是人为的构造从另一个同色顶点到其对角顶点的连通链，使构形转化成具有双环交叉链的构形。因为具有了双环交叉链，才有可能成为H—构形，但不一定都能成为H—构形。
一次一次这样的反复演绎，最后在演绎到第十五步时，得到了一个DCD型的E—图构形（若再演绎一次，就是BAB型的E—图构形了，与其第二十次演绎后的图是一模一样的），即敢峰先生的终极图。这是一个极大平面图。以后再无论进行那个方向的对角链交换转型（与四环演绎的操作方法是相同的）时，构形总是一个空不出任何颜色给待着色顶点的H—构形。终极图中有经过了关键顶点A（即双环交叉链的共同起始顶点）的A—B环形链,只能用交换经过了关链顶点C和D（双环交叉链的两个末端顶点）的C—D链，使双环交叉链断开（双环交叉链的末端顶点C和D的颜色发生了变化），使构形变成K—构形而可约。该构形无论进行那个方向的对角链转型交换，只一次时，所得到的构形都是含有经过了关键顶点A和B（双环交叉链的两个末端顶点）的A—B环形链的构形，都可以通过交换经过了关键顶点C（双环交叉链的共同起始顶点）的C—D链，使双环交叉链断开（双环交叉链的共同起始顶点的颜色发生了变化），构形也变成K—构形而可约。我把解决埃雷拉E—图构形的这种办法叫“断链交换法”，以与坎泊使用过的“可空出颜色”的交换方法进行区别。
对于埃雷拉E—图，不管其是怎么得来的，用同样的“断链交换”的方法也是可以解决问题的。1935年的欧文就是用这样同样的方法解决了埃雷拉图的着色问题的。
还要说明一点，就是在形成E—图前的十五次演绎的过程中，至少有五次（第7、第9、第11、第12和第13五步）是不需要人为的构造连通链的，而是自身就新生成了连通链的有双环交叉链的构形。这几个构形中，只有第12步演绎后的构形是一个H—构形，不能连续的移去两个同色。但可以通过与演绎过程相同的转型交换法，从两个方向（逆时针方向或顺时针方向）进行转型。一次转型后，就可以转化成为可以连续的移去两个同色的可约的K—构形而解决问题。第11步演绎后得到的构形，向前倒着进行逆时针方向转型，就是一个可以连续的移去两个同色的可约的K—构形；向后继续顺时针方向转型两次后，则也是一个可以连续的移去两个同色的可约的K—构形。而第13步演绎后得到的构形，向后继续顺时针方向转型，也是一个可以连续的移去两个同色的可约的K—构形；向前倒着进行逆时针方向转型两次后，才是一个可以连续的移去两个同色的可约的K—构形。其它的第7、第9次演绎后所得的两个构形都是可以连续的移去两个同色的可约构形。只有到了第十五步彻底的形成了E—图后，才无论从那个方向进行转型，也无论转型多少次，都是一个不可空出任何颜色给待着色顶点的H—构形。且以四次转型为一个构形类型的小循环，以五次转型为一个构形峰点顶点位置的中循环，以二十次转型为一个构形类型和峰点顶点位置与最初始位置相同的大循环。将周而复始，无穷无尽的周期循环下去。
2、三环演绎法：
敢峰先生还有用“三环演绎”的方法构造终极图的方案（书中没有收）。
前面说了“四环演绎”，“三环演绎”就容易理解了。三环演绎即把一个5—轮构形，从两个同色顶点中的一个顶点开始，连续的按一个方向（逆时针方向或顺时针方向）交换与其邻角顶点（即相邻的围栏顶点）的颜色构成的色链，该5—轮构形始终是在BAB型—BDB型—BCB型—BAB型的三种类型的构形（逆时针演绎）或BAB型—BCB型—BDB型—BAB型的三种类型的构形（顺时针演绎）间进行转化，所以叫“三环演绎”。
敢峰先生在用“三环演绎”构造终极图时，基图用的还是如后面的图1中的含有双环交叉链A—C和A—D的、可以连续的移去两个同色的可约的K—构形。用的是逆时针方向演绎。每交换一次，构形的峰点位置和颜色均发生一次变化，但两个同色顶点的颜色总是B,并不会变化。每交换一次，双环交叉链中就有一条链断开，成为无双环交叉链的可约构形，也可以结束演绎。但敢峰先生的目的是为了构造“终极图”，也并没有结束演绎；还是人为的构造另一条连通链，使构形仍是具有双环交叉链的构形。因为含有双环交叉链是构成H—构形的必要条件，没有双环交叉链不能构成H—构形，但有了双环交叉链，却不一定都是H—构形。
同样的，也是一次一次这样的反复演绎，最后也是在演绎到第十五步时，得到了一个BAB型的、含有经过了关键顶点C和D（双环交叉链的两个末端顶点）的C—D环形链非标准式的E—图构形（该图再进行三次演绎后，就会转化为标准式的BAB型的E—图构形），即敢峰先生的终极图。也是一个极大平面图。以后再无论进行那个方向的邻角链交换转型（与三环演绎的操作方法是相同的）时，构形总也都是一个含有双环交叉链的、同时也是空不出任何颜色给待着色顶点的双B夹×型的H—构形，不能通过“空出颜色”的交换空出任何颜色。
既然最终得到的是相同类型的终极图，那么解决的办法也就与上面解决终极图的办法是相同的。
也还要说明的是，演绎过程中在形成E—图前的十五步演绎中，也是在第7、第9、第11、第12和第13步五步时，不需要人为的构造连通链，而自身就新生成了连通链的有双环交叉链的构形。
3、仿敢峰先生的演绎法构造其他图：
前段时间我仿照敢峰先生的“四环演绎”法，在进行到第九步时，构造出了一个不含有经过了关键顶点的环形链的H—构形。也是一个极大平面图。这里需要说明的一点是，前次演绎的操作有一点失误。不应是到第九步时，而是在第三步时就可以得到一个不含有经过了关键顶点的环形链的“九点形”极大图，该“九点形”极大图却是一个可以连续的移去两个同色的可约的K—构形。在这里特此说明并进行更正。
为什么却没有得到与敢峰先生的终极图是相同的结果呢？主要是敢峰先生在构图中，在人为构造连通链时，不是在基本双环交叉链内部（如图1中连通的A—C链和A—D链所围成的区域）走捷径，而是绕了大圈子，绕到了基本双环交叉链的外部。且敢峰先生也没有说明为什么一定要绕大圈子才能构造出终极图。而我是直接走了基本双环交叉链的内部的捷径的。至于为什么由于这样的不同选择，会得到不同的结果，我也是不能解释的。
今天，我再仿峰先生的“三环演绎”法，用逆时针方向演绎的方法，只用了五步就构造一个只有一条连通链的可约的K—构形。同样走的也是基本双环交叉链内部的捷径。只用了五步演绎就完成了。
基本的可以连续的移去两个同色的含有双环交叉链的BAB型的可约的K—构形如图1。
第一步，逆时针方向演绎，交换围栏顶点邻角链B—C（如图2），连通链A—C断开，A—D链仍然存在，可构造D—C连通链，是一个BDB型的含有双环交叉链D—A和D—C的构形。       

   
第二步，继续同方向演绎，交换围栏顶点邻角链B—A（如图3），连通D—A断开，D—C链仍然存在，可构造C—A连通链，是一个BCB型的含有双环交叉链C—A和C—D的构形。
第三步，继续同方向演绎，交换围栏顶点邻角链B—D（如图4），连通链C—D断开，C—A仍然存在，可构造A—D连通链，是一个BAB型的含有双环交叉链A—C和A—D的构形。
第四步，继续同方向演绎，交换围栏顶点邻角链B—C（如图5），连通链A—C断开，A—D仍然存在，可构造D—C连通链，是一个BDB型的含有双环交叉链D—A和D—C的构形。


第五步，继续同方向演绎，交换围栏顶点邻角链B—A（如图6），是一个BCB型的只有一条连通链C—D的可约的K—构形。不能构造C—A连通链。即就是能够构造，也只能是一个BCB型的含有双环链，但不相交叉的可以连续的移去两个同色B的可约的K—构形。这说明第四步演绎的结果已经是一个可以连续的移去两个同色B的BDB型的可约的K—构形了（读者可以试一试看是不是可以连续的移去两个同色B）。
第六步，从图6的第5步转型的结果，从围栏最上的顶点C交换C—A链，移去了颜色C，是一个围栏顶点只占用了三种颜色的可约的K—构形（如图7）。当然也可以从围栏右下角的顶点A交换A—C链，移去颜色A，也是一个围栏顶点只占用了三种颜色的可约的K—构形。
第七步， 把颜色C给图7中的待着色顶点V着上（如图8），完成了构图并着色的任务。
4、结论：
从以上的分析看，用同样的方法（如我和敢峰先生同样都是用四环演绎或三环演绎），但由于采取了不同的路线（基本双环交叉链形成的区域内或外），可以构造出不同类型的图（敢峰先生构造了含有经过了构形关键顶点的环形链的H—构形，而我却构造了无经过构形关键顶点的环形链的“九点形”的可约的K—构形）；而用不同的方法（如敢峰先生分别用四环演绎和三环演绎的方法），同样也可以构造出相同的图来（如敢峰先生用两种办法都构造出了“终极图”）。所以说，证明四色猜测是与图本身是如何构造而得来的，是没有关系的。只要图的类型相同，就可以用同样的方法去解决。由此也可以看出，寻找有各种特征链的不可避免的构形是必要的，而只研究个别图的构图方法和着色是不可取的。
5、关于术语问题：
上面在用演绎法构造E—图时，在未形成E—图之前的十四步演绎后各形成的构形，除了第12步的构形外，其他的都是可以连续的移去两个同色的可约的K—构形，而且第12步形成的构形在经过一次转型后，就又转化成了可以连续的移去两个同色的可约的K—构形。每一次演绎后的构形，一方面可以连续的再移去另一个同色，敢峰先生把这一条路线叫“四色可解线路”，还是可以说得过去的；另一方面也可以人为构造另一条连通链，敢峰先生把这一条路线叫做“四色不可解线路”，这就有点不太合适了。因为构造了连通链的构形，实际上还是一个可以连续的移去两个同色的构形，在下一步的演绎后（实际就是移去了一个同色），就可以连续的再移去另一个同色。事实也就是如此。而只有在第十五次演绎（转型）后的构形，才真正转化成了不能移去任何一种颜色的H—构形了。而在第十五次演绎（转型）后的各个构形中，也就不存在选那条路线的问题了。因为第十五次转型后的每一次转型后的构形中，都已经含有另一条连通链了，也就不存在什么“四色可解”与“四色不可解”的问题了。
又因为E—图最终还是四色可解的，并不是四种颜色解决不了问题的。所以更不应该叫做“四色不可解线路”了，而应该叫做“构造双环交叉链”的线路（因为在构造连通链之前，图中的确是没有双环交叉链的）。相应的，则把前一条线路（即“四色可解线路”）应叫做“解决单一连通链”的线路（在构造连通链之前，图中的确也只有一条连通链）。这样才是名符其实的。另外一点是，既然叫做“四色不可解线路”，那么选了这条线路后，就应该得到一个真正是“四色不可解”的构形，可是总没有得到。E—图仍是可4—着色的。这样的话叫做“四色不可解”线路就更没有理由了。
可能敢峰先生会说，他这里说的只是用转型的方法不可能解决E—图的可4—着色问题，并没有说E—图是不可4—着色的。是的，敢峰先生也真的用“断链交换法”解决了E—图的可4—着色的问题。但现在的问题是，E—图中含有经过了关键顶点的环形链，可以用断链交换法进行解决，而不含有经过了关键顶点的环形链的构形，如何进行可4—着色呢？并没有解决。
按敢峰先生所说，“终极图”的寓义为不可能再找出“四色不可解线路”的图了。请问：“四色不可解线路”的术语本来就不合适，还要再找什么“四色不可解线路”的图呢？看一看这个“终极图”是不是不能“四色不可解”呢？事实证明，E—图是“四色可解”的，而不是“四色不可解”的。所以我认为“终极图”的术语也是不合适的，是不符合实际的。另外“终极图”中的“终”和“极”是什么意思呢？先生是从那个方面说明了是“终”和“极”的呢？却并没有说明。这样一个不明不白的述语，实在是令人费解！
6、敢峰先生所遗漏的问题：
用断链法不光是只可以解决E—图的着色问题，而是所有的含有经过了关键顶点的环形链的构形，都可以用断链法进行解决。但不含有经过了关键顶点的环形链的构形如何解决呢？在这里，敢峰先生却只字不提，不知是为什么？请问敢峰先生，对于张彧典先生所指出的那些Z—构形和非Z—构形的构形，该如何解决呢？这些不可避免的构形都没有解决，能说明四色猜测是正确的吗？因此，我认为敢峰先生只研究一个E—图的问题是不能解决四色问题的。

雷  明
二○二一年十月三日于长安

雷明85639720

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