投影矩阵的行列式应该怎么求？

wufaxian

答案划红线的部分，怎么还能把行列式和子空间联系起来？
还有就是，如果A行列式不为0，那P在A的投影就不再是最优解，而是确切解，对吧？
|AB|=|A||B|成立的前提是A B 同时可逆，对吧？
题中的写法虽然错了，但是P的行列式可以写成某个公式么？

luyuanhong

从楼上的帖子可知，这里的矩阵 A 是一个 m×n（m＞n）矩阵，它的行数 m 大于列数 n 。

所以，可以看出，A 是一个“高而瘦”的长方形矩阵。

对于这样一个长方形矩阵，根本不可能求行列式，所以推导中写出 detA ，就已经是错了。

至于投影矩阵 P=A(A'A)^(-1)A' ，这是一个 m×m 方阵，是可以求行列式的。

因为 A 是一个 m×n（m＞n）矩阵，所以 A 的秩 r≤n＜m ，即 A 的秩小于 A 的行数。

我们知道，几个矩阵相乘，得到的乘积的秩，不大于参加相乘的每一个矩阵的秩，所以

P=A(A'A)^(-1)A' 的秩，必定不大于 A 的秩 r ，也就必定小于 A 的行数 m 。

因为 P 是 m×m 矩阵，它的秩小于 m ，可见 P 不是一个可逆阵，所以

投影矩阵 P 的行列式 detP=0 。