求自然数列 A＝{1,2,6,7,9,10,11,…}，B={0,3,4,5,8,12,…} 的通项公式

uk702

cgl_74 发表于 2021-10-27 23:44
一个递推方式的解法，供讨论。形式复杂了些，不知道是否有更简洁的表示方法。

根据这个结论，二进制末两位共有 4 种可能，其中以 00, 10 结尾的，在 mod 4 就可以判断出归属 A 还是归属 B，但其中以 01, 11 结尾的，则无法在 mod 4 内判断，要到 mod 8 及更大的范围才能判断。

末两位以 01 结尾的，则可根据末 3 位是 001 还是 101 判断出归属 A 还是归属 B，即在 mod 8 内可以判断出来。

末两位以 11 结尾的，则还无法根据末 3 位是 011 还是 111 判断出归属 A 还是归属 B，但可以根据末 4 位若是 0011 还是 1011 判断出归属 A 还是归属 B，而末 4 位是 0111 和 1111，在 mod 16 的范围内还无法判断归属 A 还是归属 B。

推而广之，在任何 mod 2^k 内，都至少（还是恰好？）有两种情况，无法根据 n 的二进制表示后末 k 位判断出 n 归属于 A 还是归属于 B。

因此，也可以得出结论，A 和 B 的通项公式无法用简单的如多项式、递推之类的方法来表示，如果存在的话，则很可能与 n 的二进制表示中如 1 个数是奇数、还是偶数，1 的最高位是奇数还是偶数诸如此类的方式来表示，但这两种方式似乎都可以排除了。

大概也可以得出一个结论，4k 和 4k+2 型的整数“太偶”了，8k+1 和 8k+5 则有点奇，16k+3 和 16k+11 就多奇一点，32k+7 和 32k+23 就更加奇，64k+15 和 64k+47 又更奇了，...

而 2^n-1，则可以根据 n 是奇数还是偶数简单判断出它属于 A 还是属于 B，似乎一点都不“奇”，难判断的是某个 2^m+2^n-1。

另，我搜了一下 OEIS，其中似并没给出这样的数列。

uk702

uk702 发表于 2021-10-28 23:04
根据这个结论，二进制末两位共有 4 种可能，其中以 00, 10 结尾的，在 mod 4 就可以判断出归属 A 还是归 ...

估计会像是 3x+1 一类的难题，你可以简单证明 mod k 中的哪些类一定能表示，但总有些残留的类需要到更大的模数中才能判断，而在更大的模数中，又会碰上某几个的残留

sheen328

cgl_74 发表于 2021-10-28 21:16

看了21楼的评论，明白你想表达什么了，我以前用过这种方法，当你列出的表达式足够多时，你会惊奇地发现你表达式的一部分会和那两个的数列的前几项一模一样！！！这就是白天我说的以2的N次方像病毒一样复制自己的结构。

uk702

uk702 发表于 2021-10-28 23:04
根据这个结论，二进制末两位共有 4 种可能，其中以 00, 10 结尾的，在 mod 4 就可以判断出归属 A 还是归 ...

我觉得你不妨认真确认一下这个数列是否真的是属于你原创性的东西，如果真是原创的话，一辈子有这么一个原创性的东西，说不定就足够青史留名了。

王守恩

王守恩 发表于 2021-10-27 18:50
电脑可以出来数字串，但出不了通项公式。

A={1, 2, 6, 7, 9, 10, 11, 14, 17, 18, 22, 25, 26, 27, 30 ...

\(\displaystyle A(n)=2^k(n-mod(k,2))-2^{k-2}\cos(k\pi)-1\)     n=1,2,3,4,...     k=2,3,4,...
A={1, 2, 6, 7, 9, 10, 11, 14, 17, 18, 22, 25, 26, 27, 30, 31, 33, 34, 38, 39, 41, 42, 43, 46, 47, 49, 50,

\(\displaystyle B(n)=2^k(n+mod(k,2))-2^{k-2}\cos(k\pi)-1\)     n=0,1,2,3,...     k=2,3,4,...
B={0, 3, 4, 5, 8, 12, 13, 15, 16, 19, 20, 21, 23, 24, 28, 29, 32, 35, 36, 37, 40, 44, 45, 48, 51, 52, 53,

\(\displaystyle A(n)+B(n)=2^k\big\lceil\frac{n}{2}\big\rceil+2^{k-2}\cos(n\pi)-1\)         n=0,1,2,3,...      k=2,3,4,...
A+B={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26,...

王守恩

lihp2020 发表于 2021-10-26 18:55
A B  除了0(0 是一个奇葩的数字暂时不考虑)
能够发现
AB的并集 为全体正整数  

类似的题目，贝蒂定理好像也用不上。

{a(n)}={0, 5, 7, 09, 11, 13, 18, 19, 26, 27, 31, 36, 38, 44, 45, 46, 50, 52, 54, 62, 63, 65, 68,...}
{b(n)}={1, 3, 8, 12, 14, 16, 20, 21, 22, 28, 30, 32, 34, 39, 40, 47, 48, 53, 55, 57, 58, 66, 71,...}
{c(n)}={2, 4, 6, 10, 15, 17, 23, 24, 25, 29, 33, 35, 37, 41, 42, 43, 49, 51, 56, 59, 60, 61, 64,...}

  a：3*(3k+0)，3*c+1，3*b+2,   k=0,1,2,3,...
  b：3*(3k+1)，3*a+1，3*c+2,   k=0,1,2,3,...
  c：3*(3k+2)，3*b+1，3*a+2,   k=0,1,2,3,...

王守恩

王守恩 发表于 2021-10-29 15:07
\(\displaystyle A(n)=2^k(n-mod(k,2))-2^{k-2}\cos(k\pi)-1\)     n=1,2,3,4,...     k=2,3,4,...
A={1 ...

3，还有这个表达式不知道，怎么进行逆运算求出k、n的值？好像可以有的(我是向众多网友学,会了一点点)  
2，这个表达式能完整计算出所有数据，但有个k，表达式计算出来的值展出来是以k、n为轴的二维数组，可不可以把k消掉，我想知道一维数组与n的一一对应关系。(看下面，已排序)  
1， lihp2020说得是对的。
电脑可以出来数字串 这个是 只能找集合 算法容易 先算出39 再算出38

Sort[Flatten[\( A(n)=2^k(n-mod(k,2))-2^{k-2}\cos(k\pi)-1\)]]     n=1,2,3,4,...     k=2,3,4,...
A={1, 2, 6, 7, 9, 10, 11, 14, 17, 18, 22, 25, 26, 27, 30, 31, 33, 34, 38, 39, 41, 42, 43, 46, 47, 49, 50,

Sort[Flatten[\( B(n)=2^k(n+mod(k,2))-2^{k-2}\cos(k\pi)-1\)]]     n=0,1,2,3,...     k=2,3,4,...
B={0, 3, 4, 5, 8, 12, 13, 15, 16, 19, 20, 21, 23, 24, 28, 29, 32, 35, 36, 37, 40, 44, 45, 48, 51, 52, 53,

Sort[Flatten[\( A(n)+B(n)=2^k\big\lceil\frac{n}{2}\big\rceil+2^{k-2}\cos(n\pi)-1\)]]         n=0,1,2,3,...      k=2,3,4,...
A+B={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26,...

sheen328

uk702 发表于 2021-10-29 06:26
我觉得你不妨认真确认一下这个数列是否真的是属于你原创性的东西，如果真是原创的话，一辈子有这么一个原 ...

我找到发在以前网站的邮件，邮件里有我发的帖子链接，但点击是显示404，它的主网站还在，但已经改版成为面向数学其它方面的网站了。还有这个真是我独自原创的，但怎么确认别人在我之前或者之后有没有发现这两个数列呢？

sheen328

lihp2020 发表于 2021-10-26 18:55
A B  除了0(0 是一个奇葩的数字暂时不考虑)
能够发现
AB的并集 为全体正整数  

lihp2020
是不是 原创没有必要研究 首先这个序列能解决什么问题 多出点文章才能可以 我看了些野史 很多历史原创 都是盗窃他人 并再他人的基础上做了更多研究  发表于 2021-11-1 13:43

       如果标明出处，我想不算盗窃吧？如果以后你们引用了我这两个数列，请标明出自我这里我知识有限，感觉和自然界”病毒“相似吧。复制结构，且往后有变异。
另：感觉双变量出来的表达式和{\(a_{ n}\)}与n没有相对应，不好理解。

lihp2020

结论1
给定任意一个数 一定 有方法 判断 在A中还是B中
给一个任意数 展开成2进制(我认为最好的4进制但是4进制不通用 2进制也好看)
大概正则是这样
***10[11]*   或者****00[11]*1
正则我也没有写对  只是大概意思
表示 A 序列 最后一定是10后面跟偶数个1 或者00后面奇数个1
而 10 100 前面的数据可以任意
结论2
特征值
A（2^N） 都是可以算的
（2,4,8,16,32--）
2^N 拆分一下  4^N 和4^N*2   不好看 其实就是2^(2N) 2^(2N-1)

A（ 2^(2N-1)）= (2^(2N-1)-1)*2
A（ 2^(2N)）= (2^(2N-1)-1)*2+1
A(8)=A(2^3是奇数)= (2^(3)-1)*2=14

结论3
特征值中间  如何判断
如2^N 到2^(N+1)  之间 一共有2^n-1  前开后开  就要-1
前一半= 2*2^N+a(n) 后一半=3*2^N+a(n)
其中中间差一个 有变化   
周期 在4^N  就是完美循环

lg: a(90)
90=(1 01 10 10)2  
90 =64+16+8+2
64 后面不是32 就是前一半
a(90) =64*2 +a(16+8+2)
   16+8 是后一半  2变成了1  就是因为 其中中间差一个
   如何判断 后一半数据 是否 后面-1  后面分析
a(16+8+2) = 16*3+ a(1)
a(8+2) = 8*2+a(1)
先简单些一下 我的思路 欢迎大家 总结  我认为 这个 就是一个思路