四维锥体的体积怎么求？

wufaxian

三角形的角在(0, 0), (1, 0), (0, 1)，面积是 1/2。R\(^{3 }\)的锥体有四个角(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)，体积是多少？R \(^{4 }\)的一个锥体，它的 5 个角在(0, 0, 0, 0) 以及 I 的行，体积是多少？

三个问题的答案分别是1/2，1/6，1/24

第三个答案是如何从n面体体积计算出来的呢？ 体积做减法属于立体几何问题么？

玉树临风

思维空间还未被证实你就拿来说，那咋不上天……

luyuanhong

wufaxian

luyuanhong 发表于 2021-10-29 10:21

谢谢lu老师的详细讲解，看后产生了两个疑问：

1、关于单纯形，我找到如下介绍“单纯形是代数拓扑中最基本的概念。单纯形是三角形和四面体的一种泛化，一个 k 维单纯形是指包含 (k+1)个节点的凸多面体。”-------但是如何确定题中所说的“锥体”就是单纯形呢？因为原题就是在问n维锥体有几个角？如果确定n为锥体是单纯形，这个问题就同时解决了。主要是四维空间不知道应该如何想象除出四维锥体？

2、虽然两种初等变换不改变行列式的值 但是在不知道每个元素数值的情况下，如何保证对大矩阵消元后能剩下这样一个行列式，即扣掉n行和n列后，剩下的矩阵就一定是个对角矩阵？


3、我看的书中在用行列式求体积或面积的时候也是列出了包含1的行列式。例如求(a,b)(c,d)(e f) 三个点围成的三角形面积不是直接列2阶行列式求面积，例如1/2 \(\begin{vmatrix}
c-a&e-a\\
d-b&f-b
\end{vmatrix}\)


而是要换成三阶行列式
1/2 \(\begin{vmatrix}
a&b&1\\
c&d&1\\
e&f&1
\end{vmatrix}\)

上面的1是如何产生的？为什么是1，而不是2或其他自然数呢？



4、n维单纯形n维基公式为什么会出现根号以及行列式的平方？然后在开平方。还要乘以1/n！  。如何证明呢？ 为什么n维锥体就一定是体积就一定是n维单纯形的n维积呢？-----------或者这个问题超出了线性代数的讨论范围？