已知 x=rcosθ，y=rsinθ，求 x,y 关于 r,θ 的偏导数，以及 r,θ 关于 x,y 的偏导数

wufaxian

极坐标满足 x = r cosθ 与 y = r sinθ，极面积是 J dr dθ：


\(\partial\)r/\(\partial\)x应该=1/cosθ才对吧，怎么答案显示是cosθ？\(\partial\) r/\(\partial\) x = \(\partial\) x/\(\partial\) r怎么看都觉得别扭

elim

\(r^2=x^2+y^2\implies 2r\frac{\partial r}{\partial x}=2x=2r\cos\theta\implies\frac{\partial r}{\partial x}=\cos\theta\)

wufaxian

elim 发表于 2021-10-29 07:59
\(r^2=x^2+y^2\implies 2r\frac{\partial r}{\partial x}=2x=2r\cos\theta\implies\frac{\partial r}{\part ...

谢谢讲解，你的方法我看懂了。
请教一下。另r=x/cosθ,然后求\(\partial\)r/\(\partial\)x=1/cosθ，这是不是错在忽略了cosθ里面含有x/r。所以不能这样求偏导数。对么？

如果按照上述方法，由\(r^2=x^2+y^2\ 求\partial\)x/\(\partial\)r———->2r=2x \(\partial\)x/\(\partial\)r———> \(\partial\)x/\(\partial\)r=r/x=1/cosθ

可是前面27题显示\(\partial\)x/\(\partial\)r= cosθ。
所以我的计算在哪部分出错了？

luyuanhong

wufaxian

luyuanhong 发表于 2021-10-29 23:35

谢谢lu老师的详细讲解。有两点疑问向你请教。
1、求\(\frac{\partial x}{\partial r}\)   利用x=rcosθ  ，为什么这时候不能用\(r^2=x^2+y^2\) 个思路去求偏导？用这个式子求偏导会违反哪些规则么？
      反过来也一样。\(\frac{\partial r}{\partial x}\) 的时候为什么不能用 x=rcosθ作为起点。令r=x/cosθ

2、\(\frac{\partial x}{\partial x}=\frac{\partial x}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial x}{\partial\theta}\frac{\partial\theta}{\partial x}\)  这个表达式的含义是什么？就是没有这个表达式，\(\frac{\partial x}{\partial x}也明显等于1 .写出这个表达式的时候把x看作什么？是看作了x=rcosθ  还是看作\(r^2=x^2+y^2\)  或者单纯就是为了引出cosθ cosθ 。以便证明前面\(\frac{\partial r}{\partial x}\) =\(\frac{\partial x}{\partial r}\)=cosθ是正确的？

luyuanhong