是否有公式，在给定正整数 C 时可求得 x^2-y^2=C 的正整数解？

xyaoy

请问是否有公式求解x^2-y^2=C的正整数解？

luyuanhong

题  是否有公式，在给定正整数 C 时可求得 x^2-y^2 = C 的正整数解？

解  因为 C = x^2-y^2 = (x+y)(x-y) ，所以，如果把 C 分解成一大一小两个同奇偶

的正整数相乘，即有 C = pq（ p＞ｑ＞0 ，p,q 为同奇偶的整数）。这时可以令

  x+y = p ，x-y = q 。就可以得到正整数解   x = (p+q)/2 ，y = (p-q)/2 。

例1  要求 x^2-y^2 = 12 的正整数解。

    12 可分解为 12 = 6×2 ，所以

     x = (6+2)/2 = 8/2 = 4 ，y = (6-2)/2 = 4/2 = 2 。

    确实，有 x^2-y^2 = 4^2-2^2 = 16-4 = 12 。

例2  要求 x^2-y^2 = 21 的正整数解。

    21 可分解为 21 = 7×3 ，所以

    x = (7+3)/2 = 10/2 = 5 ，y = (7-3)/2 = 4/2 = 2 。

    确实，有 x^2-y^2 = 5^2-2^2 = 25-4 = 21 。

    21 还可分解为 21 = 21×1 ，所以

    x = (21+1)/2 = 22/2 = 11 ，y = (21-1)/2 = 20/2 = 10 。

    确实，有 x^2-y^2 = 11^2-10^2 = 121-100 = 21 。

Nicolas2050

丢番图方程

xyaoy

luyuanhong 发表于 2021-11-4 12:34
题  是否有公式，在给定正整数 C 时可求得 x^2-y^2 = C 的正整数解？

解  因为 C = x^2-y^2 = (x+y)(x-y ...

尴尬，其实最终就是想求RSA的因式分解N=p*q       则(（p+q）/2)^2-N=(（p-q）/2)^2