王国祯：数学研究需要摒弃无关要素，抓住核心问题！将在2022年国际数学家大会上作报告

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王国祯：数学研究需要摒弃无关要素，抓住核心问题！将在2022年国际数学家大会上作报告

原创 戚心茹 复旦大学 10月3日

今年7月，复旦大学上海数学中心的王国祯副教授在国际顶尖数学期刊《数学学报》（Acta Mathematica）在线发表了他与合作者B. Gheorghe、徐宙利的论文《稳定同伦范畴的母体形变的特殊纤维是代数的》（暂译名）The special fiber of the motivic deformation of the stable homotopy category is algebraic。这是他五年以来在数学四大顶尖期刊发表的第二篇研究成果论文，也是复旦大学上海数学中心成立以来第六篇登上数学四大顶尖期刊的文章。在文章中，他自己创造“工具”，探索无穷维的拓扑空间，他在站上“巨人的肩膀”前进的过程中，最终计算出数学界学者们“有生之年”的结果。

“数学四大期刊”是国际数学领域四大顶级刊物，刊载数学研究领域的重要突破性成果。1998-2017年，中国数学研究者20年间在四大刊发表98篇论文。今年，复旦大学上海数学中心的陈佳源、沈维孝、王国祯、李骏、周杨已经在“数学四大刊”上连发5篇文章，彰显了数学中心基础数学研究的深度和厚度。

继科学探索奖获得者沈维孝的报道之后，我们推出“复旦数学家”系列报道，让大家看到更多在一线做科研的数学家的工作与生活。今天，让我们聚焦王国祯副教授。



01  剪开那条莫比乌斯带

“我们可以想象一下，把一条莫比乌斯带从中间剪开，你将会得到什么模型呢？大部分人的想法都是沿着纸面的中线剪开，但是，如果你的想象力足够充分的话，换个角度，你还可以沿着纸片薄薄的侧面切开，那又会是什么情形呢？”


只有一条边、一个面的莫比乌斯带

这是王国祯留给学生的一道课后习题，让同学们发挥想象力，感受探索空间的奥秘。

“这是一个有趣的数学问题，它不是为了证明什么，而是想看看不同的操作能够产生什么样有意思的结果。”王国祯说：“当你数学研究走得比较远时，找问题比做问题更重要。”

对王国祯来说，他的研究工作也是不断地寻找问题，解决问题。

假如把普通几何看作硬的乒乓球的话，那么拓扑几何空间就像篮球，是软的。很多普通情况下做不到的事，拥有弹性的拓扑空间就能够做到。换而言之，能够自由变换的拓扑空间拥有更多可能性。王国祯的工作，就是尽可能多地推算出这些存在的可能性。


王国祯正在计算

从本科开始，王国祯就对代数拓扑产生兴趣。在学习了北京大学范后宏老师的同伦论课程后，他迷恋上了拓扑学独特的解题方式。“很难的微分方程，基于拓扑的一些特性，可以不用考虑其他细节，得出直观的解答。我觉得这是一个很神奇的、非常有效的解决问题的方法。”王国祯说。

代数拓扑带给他看问题的另一个角度。他开始尝试从侧面切开那条莫比乌斯带。就像鱼从小溪游入了大海，王国祯走进数学广袤无边的世界，在不断思考中前行。

02  创造出“工具”

王国祯所计算的球面同伦群，是数学研究的一个基本问题，也是代数拓扑中的重要问题之一。问题提出一个世纪以来，学界将计算推进到球面的第59个稳定同伦群。王国祯与合作者们突破了60维的难关，将计算推进到第90维、第120维，解决了广义庞加莱猜想在奇数维情形的最后一个问题。


王国祯发表于数学四大顶刊之一《数学学报》（Acta Mathematica）的最新论文

在最新发布的论文中，他提出了母体（motivic）同伦范畴中的周t-结构。利用该t-结构, 王国祯与合作者证明了复数域上的母体（motivic）形变的特殊纤维是代数的, 以及模τ的母体亚当斯（motivic Adams）谱序列与代数诺维科夫（Novikov）谱序列是同构的。该结果给出了计算球面稳定同伦群的一个全新的计算方法，使球面稳定同伦群的计算顺利向百维推进，是同伦论领域的重要突破。

一维、二维的球面尚属于常见的事物，但三维就已复杂，进入更高的维度。59、60、90、120，这些维度不是简单的数字，每一维度的计算方法都是本质上完全不同的，需要给出不同的解法。这意味着前人研究成果可提供的借鉴是有限的，不打开新的思路，研究就无法推进。

这个问题的难点在于缺少有效的工具去计算。

王国祯一开始希望能够写一个计算机程序，以实现简单的辅助计算。用传统C语言所编写的程序，在运行过程中会产生很多bug，导致实验一次又一次失败。彼时王国祯觉得这并不算什么，球面同伦群的计算成果有一些周期性的特质，往往几十年才能实现一次重大突破，学界关于此的研究已有近十年的停滞，挑战者不断失败，他不过是其中之一。


王国祯的草稿

对未知的渴求，让他陷入沉思，无时无刻不在思考着问题的解决路径，天花板、水面、地面都成为了他脑中推演时的草稿纸。偶一间隙获得灵感，王国祯便可以连续多日算个不停。

“有一天我突发奇想，觉得我是不是应该学习一种新的计算机语言？说不定可以解决我之前的问题。”王国祯回忆道。

于是，他试着用F#语言重新编写程序。F#语言有着C语言无法比拟的优势，能够大大减少运行中的bug，实验终于成功了。但同时，普通的电脑承载不了越来越庞大的数据，需要性能更强劲的服务器才能继续运行。然而，当王国祯试图在高级计算机上运行F#语言程序时，他又遇到了机器无法编译的问题。

最终，他只能将F#语言程序重新翻译回C语言，他惊喜地发现，经过反复的试验，吸收了数次成功的经验，程序能够顺利运行了。就这样，王国祯创造出了新的工具。


工作中的王国祯

通过将计算机的运行结果与合作者阿萨克森（Isaksen）之前的计算结果比对，王国祯与合作者发现，通过计算机生成的代数诺维科夫（Novikov）谱序列的数据与通过经典方法得到的模τ的母体亚当斯（motivic Adams）谱序列的数据完全一致。这是一个振奋人心的发现，表明了一大类复杂的亚当斯（Adams）微分可以通过计算机完全机械地得到。这是几十年来拓扑学家梦寐以求的方法。王国祯与合作者进一步研究了母体（motivic）同伦理论，提出来周t-结构的概念，从而在理论上证明了前面的实验结果。这就给出了一个计算球面稳定同伦群的一个全新的工具。

以此为起点，他与合作者们一起，提出了很多新的工具，在代数拓扑的核心问题上取得了突破。

“我的研究就是建立各种工具，希望能够应用在同伦群的研究上，从而揭示一些同伦群的规律。”王国祯说。

03  课程《几何拓扑选讲》，面向“数学英才试验班”本科生

王国祯这学期开了一门《几何拓扑选讲》的课程，专门面向“数学英才试验班”的本科生，以培养学生的基础数学能力。

走进课堂时，他穿着半旧的格子衬衫，只带了两本教科书和一瓶水。

课上，他写下一段段板书，讲解理论的定义和推导过程，频频抛出衍生的课后习题供学生们课后思考，不多时，两块黑板铺满笔迹。


王国祯的课堂

同学们已经适应了王老师简洁而快速的风格，目光往返于黑板与笔记之间，一时间，教室内悄然无声。

“王老师的这门课很深奥，他上课经常说‘我们可以想象一下’，但他往往能讲得准确而有体系。”2020级数学系本科的孙艺青说：“他也会说一些生动的例子来辅助我们思考，调节课堂氛围。”

在讲到米田引理（Yoneda）时，为了帮助同学们理解事物之间的映射关系，王国祯这么说：“假设社会上有两个人，他们两人的社会关系是完全一样的，那么可以看作是同一个人，就像电视剧《白夜追凶》，里面的双胞胎扮演了同一个人。”

带着“培养出未来的数学家”的目标，数学英才班于2020年秋季开班，一年多以来，优秀的师资收获了学生们的好评。进度快、程度深、内容难，成为了英才班课程的特点。

作为数学英才班的授课老师，王国祯道出了他对学生们的期许。他希望同学们能对数学产生兴趣，将来能在数学领域继续精进最好，就算转向其他方向，也能通过英才班课程的培养掌握好的基础。

“数学不仅能影响人的思维方式，也是一项基础技能。”王国祯说。

04  删繁就简

毕加索早年的画复杂而写实。随着年龄的上升与画艺的精进，他不断做减法，让自己的画作最终只留下简单的几何形状。

这与王国祯的思想不谋而合。

代数拓扑深奥而精微，多年的潜心研究使他能够删繁就简，将目光锁定在研究对象必要的元素上。

“数学里有一个非常重要的思想，就是把不重要的数据、几何结构忘掉，忘掉的越多越能从崭新的视角去认识问题。”王国祯说，“研究同伦问题也是一样，你需要忘掉研究对象的刚性结构，想象它是软的。”

在王国祯未来的研究中，他计划解决存在特质的126维同伦群问题，将球面同伦群的问题继续深入。

摒弃无关要素、抓住核心问题，是数学研究的理想状态，这也是王国祯努力的方向。

05  应邀在2022年国际数学家大会上作报告

王国祯应邀在明年的国际数学家大会上作45分钟报告，他将分享名为《球面稳定同伦群与母体同伦论》（Stable homotopy groups of spheres and motivic homotopy theory）的报告，分享自己的球面同伦群研究成果。

国际数学家大会（International Congress of Mathematicians，简称ICM），是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大、最重要的会议，被誉为数学界的奥林匹克盛会。2022年7月6日至14日，大会将于俄罗斯圣彼得堡举行。大会上，将有约200位数学家受邀作学术报告，分享他们在各自领域中取得的成果与进展。这些报告代表国际数学界最高水平。

让我们恭喜他，期待他进一步的研究成果。



王国祯

2004-2011年在北京大学就读，获学士、硕士学位。

2015年获得麻省理工学院博士学位。

2015-2016年在哥本哈根大学从事博士后研究。

2016-2018年在上海数学中心从事博士后研究。

2018年，作为青年研究员正式加入上海数学中心。

2020年，晋升为长聘副教授。