四个不同正整数之和的表法数（转帖）

独木星空谁

玉树临风 发表于 2021-11-11 14:23
这样的天马行空主观设限，你认为有探究的价值吗

没有需要你，写整篇文章道歉。如果你是来网上交流数学的，还可以理论一些。其他的目的，找存在感，用激将法的，动其他外心思的，就免了吧。
        莫非，你来到哥德巴赫猜想这个专栏，连最简单的整数拆分也不知道，这个问题，在各大板块都有，包括维基百科（英语版本），数学研发论坛，数学中国基础数学板块等等。
       在你的眼里成了没有价值的东西，你的眼力太好了，赶上飞行员的C视力了。你还有什么超长，都拿出来，给大家亮一亮像。
       没有调查研究，就没有发言权。你知道这个主题在讨论什么吗？

yangchuanju

今下午又找到一个网页A026810，它给出10000个由4个可重复正整数的和构成正整数1-10000的方法数（步数），亦可利用该网页计算由4个可重复正奇数（或正偶数）的和构成偶数2-20000的方法数（步数），该网页给出的方法数（步数）是各个加数的组合值，（而网页A000292给出的是排列值），到此4个正整数（或4个奇数，或4个偶数）相加，数字互不相同及可以重复，排列数及组合数共4种工况都有表可查了。
该网页部分数据见下。如网友需要整体数据请自行下载。

A026810-10000                       
4重复正整数或4重复奇数组合数        正整数        4奇数和        4偶数和
0 0        0        0        0
1 0        1        0        2
2 0        2        0        4
3 0        3        2        6
4 1        4        4        8
5 1        5        6        10
6 2        6        8        12
7 3        7        10        14
8 5        8        12        16
9 6        9        14        18
10 9        10        16        20
11 11        11        18        22
12 15        12        20        24
13 18        13        22        26
14 23        14        24        28
15 27        15        26        30
16 34        16        28        32
17 39        17        30        34
18 47        18        32        36
19 54        19        34        38
20 64        20        36        40
21 72        21        38        42
22 84        22        40        44
23 94        23        42        46
24 108        24        44        48
25 120        25        46        50
26 136        26        48        52
27 150        27        50        54
28 169        28        52        56
29 185        29        54        58
30 206        30        56        60
31 225        31        58        62
32 249        32        60        64
33 270        33        62        66
34 297        34        64        68
35 321        35        66        70
36 351        36        68        72
37 378        37        70        74
38 411        38        72        76
39 441        39        74        78
40 478        40        76        80
41 511        41        78        82
42 551        42        80        84
43 588        43        82        86
44 632        44        84        88
45 672        45        86        90
46 720        46        88        92
47 764        47        90        94
48 816        48        92        96
49 864        49        94        98
50 920        50        96        100
……
240 97200        240        476        480
241 98400        241        478        482
242 99640        242        480        484
243 100860        243        482        486
244 102121        244        484        488
245 103361        245        486        490
246 104642        246        488        492
247 105903        247        490        494
248 107205        248        492        496
249 108486        249        494        498
250 109809        250        496        500
251 111111        251        498        502
252 112455        252        500        504
253 113778        253        502        506
254 115143        254        504        508
255 116487        255        506        510
256 117874        256        508        512
257 119239        257        510        514
258 120647        258        512        516
259 122034        259        514        518
……
990 6758606        990        1976        1980
991 6779025        991        1978        1982
992 6799609        992        1980        1984
993 6820110        993        1982        1986
994 6840777        994        1984        1988
995 6861361        995        1986        1990
996 6882111        996        1988        1992
997 6902778        997        1990        1994
998 6923611        998        1992        1996
999 6944361        999        1994        1998
1000 6965278        1000        1996        2000

yangchuanju

4奇数和是一个偶数。
给定一个偶数，求算它可由多少组4奇数相加得到？
工况一、如果4奇数互不相同，且不计顺序（组合数），合成方法最少；
工况二、如果4奇数互不相同，同一组奇数有24种不同的排列方式，计及排列顺序时，合成方法（排列数）较多；
工况三、如果4奇数互不相同，且不计顺序（组合数），合成方法数也比工况一多，比工况四少；
工况四、如果4奇数允许相同，且计及顺序（排列数）时，合成方法最多。
介于中间的（工况二）4奇数互不相同计及顺序（互不相同排列数）和（工况三）4奇数可以相同不计顺序（允许重复组合数），谁大谁小，不好断定。

笔者在实际计算过程中发现一个奇怪的现象，工况一和工况三得到的合成方法数列完全相同，只是起点有所不同而已。

工况一、求用4个互不相同的奇数合成偶数2-60的方法数                       
偶数        方法数        偶数        方法数
2        0        32        15
4        0        34        18
6        0        36        23
8        0        38        27
10        0        40        34
12        0        42        39
14        0        44        47
16        1        46        54
18        1        48        64
20        2        50        72
22        3        52        84
24        5        54        94
26        6        56        108
28        9        58        120
30        11        60        136

工况三、求用4个允许相同的奇数合成偶数2-60的方法数                       
偶数        方法数        偶数        方法数
2        0        32        47
4        1        34        54
6        1        36        64
8        2        38        72
10        3        40        84
12        5        42        94
14        6        44        108
16        9        46        120
18        11        48        136
20        15        50        150
22        18        52        169
24        23        54        185
26        27        56        206
28        34        58        225
30        39        60        249

请注意：工况一从偶数16开始的方法数1,1,2,3,5,6,9,11,15……与工况三从偶数4开始的方法数完全相同。

yangchuanju

稍微改换一下题目，将4奇数换成4偶数，情况类似，合成方法数列还是1,1,2,3,5,6,9,11,15……；
相对于4奇数，4偶数和的起点下移2个偶数（工况一2由偶数16下移到20，工况三2有偶数4下移到8）。
工况一2、求用4个互不相同的偶数（不包括0）合成偶数2-60的方法数                       
偶数        方法数        偶数        方法数
2        0        32        9
4        0        34        11
6        0        36        15
8        0        38        18
10        0        40        23
12        0        42        27
14        0        44        34
16        0        46        39
18        0        48        47
20        1        50        54
22        1        52        64
24        2        54        72
26        3        56        84
28        5        58        94
30        6        60        108

工况三2、求用4个允许相同的偶数（不包括0）合成偶数2-60的方法数                       
偶数        方法数        偶数        方法数
2        0        32        34
4        0        34        39
6        0        36        47
8        1        38        54
10        1        40        64
12        2        42        72
14        3        44        84
16        5        46        94
18        6        48        108
20        9        50        120
22        11        52        136
24        15        54        150
26        18        56        169
28        23        58        185
30        27        60        206

yangchuanju

再改一下题目，用4个正整数相加，合成偶数2-60，有：
工况一3、求用4个互不相同的正整数合成偶数2-60的方法数                       
偶数        方法数        偶数        方法数
2        0        32        27
4        0        34        34
6        0        36        39
8        0        38        47
10        1        40        54
12        1        42        64
14        2        44        72
16        3        46        84
18        5        48        94
20        6        50        108
22        9        52        120
24        11        54        136
26        15        56        150
28        18        58        169
30        23        60        185

工况三3、求用4个允许相同的正整数合成偶数2-60的方法数                       
偶数        方法数        偶数        方法数
2        0        32        47
4        1        34        54
6        1        36        64
8        2        38        72
10        3        40        84
12        5        42        94
14        6        44        108
16        9        46        120
18        11        48        136
20        15        50        150
22        18        52        169
24        23        54        185
26        27        56        206
28        34        58        225
30        39        60        249
工况一3的起点变成10=1+2+3+4，工况三3的起点变成4=1+1+1+1。

yangchuanju

若求工况二之合成方法数，在工况一的基数上直接乘以24即可；
但对于工况四不能在工况三的基数上乘以24，因为1357有24种排列，但1111就1种排列，1113有4种排列，
1135有12种排列（1135,1153,1315,1351,1513,1531,3115,3151,3511,5113,5131,5311）。.