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发表于 2021-11-7 20:08 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 勇往直前dp 于 2021-12-29 10:07 编辑

论X3+Y3=Z3的整数解问题,设XYZ之间不可约,设P为非立方数,①X+P)3=Z3②3XP2+3X2P+P=Y3当X不被3整除时,显然 XY有因子P.当X被3整除时X含质数3,这与XYZ之间不可约矛盾,
设P为立方数时,P=Z-X因此③(Z-X)2也是立方数,Z3-X3=(Z-X)(X2+XZ+Z3)因此X2+XZ+Z2也是立方数。④{(Z2+XZ+X2)∧1/3   -(Z-X)∧2/3}∧3=3XZ-3*(Z^2+XZ+X^2)^1/3)*(Z-X)^2/3*{(Z^2+XZ+X2)^1/3  +(Z-X)^2/3}写成3XZ=K{(Z^2+XZ+X^2)^2/3  +(Z^2+XZ+X^2)^1/3)*(Z-X)^2/3)+(Z-X)^4/3}=3K*Z{(Z-X)^1/3  +{K*(Z-X)^2/3  +3k^2  -X(Z-X)^1/3}/Z}可知括号中各式相加得X/K,注意K=3k,可见Z含约数K,同理3K*X{(Z-X)^1/3)+(3k^2+K*(Z-X)^2/3  +Z(Z-X)^1/3)/X}可见X也含约数K,但X与Z不可约,{3k^2  +K(Z-X)^2/3   +Z*(Z-X)^1/3}/X=Z/K  -(Z-X)^1/3
 楼主| 发表于 2021-11-7 21:18 | 显示全部楼层
修改:K=3√3ZX如果不是整数那么3√(Z2+XZ+X2)也不是整数
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 楼主| 发表于 2021-11-11 18:49 | 显示全部楼层
嘿,左试右试不行,我们纯粹就从余数出发吧😄,3XZ-3(X^2+XZ+Z2)^1/3(Z-X)^2/3*K=K^3约去K有3xy-3(X2+XZ+Z2)^1/3*(Z-X)^2/3=(Z2+XZ+X2)^2/3+(Z-X)^4/3-2(Z2+XZ+X2)^1/3*(Z-X)2/3得3xz-(Z2+XZ+X2)^1/3*(Z-X)^2/3=(Z2+XZ+X2)^2/3+(Z-X)^4/3得出Z除以3余2或1都不行,X=K导致两边不相等,在X被3整除的情况下
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 楼主| 发表于 2021-11-25 08:56 | 显示全部楼层
静观其变,脚踏实地,不放大招,
            
                                                                  2021年11月25日**
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 楼主| 发表于 2021-12-5 15:11 | 显示全部楼层
失败不要气馁,想得太复杂反而更不妙,再试试吧,现在咱用数的单偶乘积性质能不能解决,既然(Z-X)^2/3与(Z^2+XZ+X^2)都是立方数,那么有:(Z-X)^2/3   +K=(Z^2+XZ+X^2)经计算得K{(Z^3-X^3)*(Z-X)}^1/3  +(Z^2+XZ+X^2)^2/3   +(Z-X)^4/3}=3ZX若ZX=偶数时,即K为单数,即等式左边为单数,3ZX为偶数,若ZX=单数,即3ZX为单数,K为偶数,等式左边为偶数,  
将问题想得太复杂对学数学是没有帮助的,你想得越复杂,你的思维就越乱,就越化精力,结果是浪费了时间,又没有有结果,就越畏惧数学,我们要轻松学数学,乐趣学数学

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 楼主| 发表于 2021-12-6 16:27 | 显示全部楼层
本帖最后由 勇往直前dp 于 2021-12-6 16:59 编辑

咱继续,错了就改,再用除以多项式试试吧,撸起衫袖继续干,你们的支持就是我做题的动力,没办法😭难度是增加了一些,K*(3*(Z-X)^2/3*(Z^2+XZ+X^2)^1/3   +{(Z^2+XZ+X^2)^1/3   -(Z-X)^2/3)^2}=3XZ   在括号中抽出一个K得:K^2{3*(Z-X)^2/3*(Z2+XZ+X2)1/3}/((Z^2+XZ+X^2)^1/3    -(Z-X)2/3)+(Z^2+XZ+X^2)^1/3   -(Z-X)2/3得(K^2/3XZ)这个不可约,括号中的数{3*(Z-X)^2/3*(Z^2+XZ+X^2)1/3}/{(Z^2+XZ+X^2)^1/3   -(Z-X)^2/3}也是不可约的,因为(Z^2+XZ+X^2)/(Z-X)=(Z-X)^2+3XZ)/(Z-X)=1  +3ZX/(Z-X)   3ZX/(Z-X)不可约,而K=(Z^2+XZ+X^2)-(Z-X)^2/3为整数,所以等式左边除以右边并不等于1.至于3ZX/(Z-X)不可约,请自作证明
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 楼主| 发表于 2021-12-6 16:32 | 显示全部楼层
K=(Z2+XZ+X^2)^1/3   -(Z-X)^^2/3
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 楼主| 发表于 2021-12-8 10:00 | 显示全部楼层
本帖最后由 勇往直前dp 于 2021-12-8 10:02 编辑

仅代表个人观点:如果K/3XZ可约,K必含X与Y的约数,但(Z^2+XZ+X^2)/27*(XZ)^3与(Z-X)^2/27(XZ)^3余数不一样,首先分母都大于分子,K=(Z2+XZ+X2)^1/3  -(Z-X)2/3,所以K与3XZ的约数可能只有3.  可是3*K(Z-X)^2/3)*(Z-X)+K)+K^3=3XZ.左右都含约K.不可能K只等于3.
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 楼主| 发表于 2021-12-8 10:23 | 显示全部楼层
写这么多,只求千虑一得,也反映出解题的思路,知道了那些思路行不通,那些思路虽复杂但有一点希望,直到以自己的知识不能解答为止,这就解题的方法,须要一点点撕口子,
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 楼主| 发表于 2021-12-11 00:08 | 显示全部楼层
不怕,就不信邪,再来一次,山穷水尽疑无路,柳暗花明又一村:{(Z-X)^2/3)+K}^3=(Z^2+XZ+X^2)得:3K(Z-X)^2/3)*(Z^2+XZ+X^2)^1/3)+K^3=3XZ.约去K得:①(Z^2+XZ+X^2)^2/3)+(Z^2+XZ+X^2)^2/3)+(Z-X)4^3=3xz,  3Kxz=3XZ,由于(Z^2+XZ+X^2)=(Z-X)^2+3XZ,设dx+(Z-X)^4/3=(Z^2+XZ+X^2)^2/3   设LX+(Z-X)^4/3=(Z^2+XZ+X^2)^1/3)*(Z-X)^2/3可见①式的左边是不可能约去x的
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