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论X3+Y3=Z3的整数解问题，设XYZ之间不可约，设P为非立方数，①X+P)3=Z3②3XP2+3X2P+P=Y3当X不被3整除时，显然 XY有因子P.当X被3整除时X含质数3，这与XYZ之间不可约矛盾，
设P为立方数时，P=Z－X因此③（Z－X）2也是立方数，Z3－X3=（Z－X）（X2+XZ+Z3）因此X2+XZ+Z2也是立方数。④｛（Z2+XZ+X2）∧1／3   －（Z－X）∧2／3｝∧3=3XZ－3*（Z^2+XZ+X^2）^1／3）*（Z－X）^2／3*｛（Z^2+XZ+X2）^1／3  +（Z－X）^2／3｝写成3XZ=K｛（Z^2+XZ+X^2）^2／3  +（Z^2+XZ+X^2）^1／3）*（Z－X）^2／3）+（Z－X）^4／3｝=3K*Z｛（Z－X）^1／3  +｛K*（Z－X）^2／3  +3k^2  －X（Z－X）^1／3｝／Z｝可知括号中各式相加得X／K，注意K=3k，可见Z含约数K，同理3K*X｛（Z－X）^1／3）+（3k^2+K*（Z－X）^2／3  +Z（Z－X）^1／3)／X｝可见X也含约数K，但X与Z不可约，｛3k^2  +K（Z－X）^2／3   +Z*（Z－X）^1／3｝／X=Z／K  －（Z－X）^1／3

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修改：K=3√3ZX如果不是整数那么3√（Z2+XZ+X2）也不是整数

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嘿，左试右试不行，我们纯粹就从余数出发吧😄，3XZ－3（X^2+XZ+Z2）^1/3（Z－X）^2/3*K=K^3约去K有3xy－3（X2+XZ+Z2）^1/3*（Z－X）^2/3=（Z2+XZ+X2）^2/3+（Z－X）^4/3－2（Z2+XZ+X2）^1/3*（Z－X）2/3得3xz－（Z2+XZ+X2）^1/3*（Z－X）^2/3=（Z2+XZ+X2）^2/3+（Z－X）^4/3得出Z除以3余2或1都不行，X=K导致两边不相等，在X被3整除的情况下

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静观其变，脚踏实地，不放大招，
            
                                                                  2021年11月25日**

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失败不要气馁，想得太复杂反而更不妙，再试试吧，现在咱用数的单偶乘积性质能不能解决，既然（Z－X）^2／3与（Z^2+XZ+X^2）都是立方数，那么有：（Z－X）^2／3   +K=（Z^2+XZ+X^2）经计算得K｛（Z^3－X^3）*（Z－X）｝^1／3  +（Z^2+XZ+X^2）^2／3   +（Z－X）^4／3｝=3ZX若ZX=偶数时，即K为单数，即等式左边为单数，3ZX为偶数，若ZX=单数，即3ZX为单数，K为偶数，等式左边为偶数，  
将问题想得太复杂对学数学是没有帮助的，你想得越复杂，你的思维就越乱，就越化精力，结果是浪费了时间，又没有有结果，就越畏惧数学，我们要轻松学数学，乐趣学数学

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咱继续，错了就改，再用除以多项式试试吧，撸起衫袖继续干，你们的支持就是我做题的动力，没办法😭难度是增加了一些，K*（3*（Z－X）^2／3*（Z^2+XZ+X^2）^1／3   +｛（Z^2+XZ+X^2）^1／3   －（Z－X）^2／3）^2｝=3XZ   在括号中抽出一个K得：K^2｛3*（Z－X）^2／3*（Z2+XZ+X2）1／3｝／（（Z^2+XZ+X^2）^1／3    －（Z－X）2／3）+（Z^2+XZ+X^2）^1／3   －（Z－X）2／3得（K^2／3XZ）这个不可约，括号中的数｛3*（Z－X）^2／3*（Z^2+XZ+X^2）1／3｝／｛（Z^2+XZ+X^2）^1／3   －（Z－X）^2／3｝也是不可约的，因为（Z^2+XZ+X^2）／（Z－X）=（Z－X）^2+3XZ）／（Z－X）=1  +3ZX／（Z－X）   3ZX／（Z－X）不可约，而K=（Z^2+XZ+X^2）－（Z－X）^2／3为整数，所以等式左边除以右边并不等于1.至于3ZX／（Z－X）不可约，请自作证明

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K=（Z2+XZ+X^2）^1／3   －（Z－X）^^2／3

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仅代表个人观点：如果K/3XZ可约，K必含X与Y的约数，但（Z^2+XZ+X^2）/27*（XZ）^3与（Z－X）^2/27（XZ）^3余数不一样，首先分母都大于分子，K=（Z2+XZ+X2）^1／3  －（Z－X）2/3，所以K与3XZ的约数可能只有3.  可是3*K（Z－X)^2/3)*（Z－X)+K）+K^3=3XZ.左右都含约K.不可能K只等于3.

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写这么多，只求千虑一得，也反映出解题的思路，知道了那些思路行不通，那些思路虽复杂但有一点希望，直到以自己的知识不能解答为止，这就解题的方法，须要一点点撕口子，

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不怕，就不信邪，再来一次，山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村：｛（Z－X）^2／3)+K｝^3=（Z^2+XZ+X^2）得：3K（Z－X）^2／3)*（Z^2+XZ+X^2）^1／3)+K^3=3XZ.约去K得：①（Z^2+XZ+X^2）^2／3)+（Z^2+XZ+X^2）^2／3)+（Z－X）4^3=3xz，  3Kxz=3XZ，由于（Z^2+XZ+X^2）=（Z－X）^2+3XZ，设dx+（Z－X）^4／3=（Z^2+XZ+X^2）^2／3   设LX+（Z－X）^4／3=（Z^2+XZ+X^2）^1／3)*（Z－X）^2／3可见①式的左边是不可能约去x的