线性不定方程正整数解分析

yangchuanju · 发表于 2021-11-9 12:08

线性不定方程正整数解分析
近期，在认真研究了白新岭先生的3抽2、5抽3、7抽4直至15抽8等线性不定方程正整数解的组数构成各个博贴，从中悟出一些道理。

一、线性不定方程正整数解
x+y=N是最简单的一个二元线性不定方程，2个变量x和y，1个常数项N，两变量的系数都是1；
如果对变量x和y的取值范围不做如何限定，则该二元线性不定方程有无穷多组解；
如果限定常数项N是整数（正整数、零和负整数），变量x和y的取值范围也是整数，则二元线性不定方程仍有无穷多组解；
如果限定常数项N是正整数，变量x和y的取值范围也是正整数，则二元线性不定方程的解仅有有限组，这正是我们要研究的课题。

本文只研究线性不定方程是正整数解的组数问题。
给定常数项N等于1，二元线性不定方程x+y=1无解；N=2，有1组解x=1,y=1；N=3，有2组解x=1,y=2和x=2,y=1；N=4，有3组解，N=1+3,2+2,3+1；……
对于三元线性不定方程x+y+z=N，当N=1和2时不定方程无解；N等于3时有1组解x=1,y=1,z=1；N等于4时有3组解x=1,y=1,z=2; x=1,y=2,z=1; x=2,y=1,z=1；……

啊！原来线性不定方程解如此简单，它本是一个初中或小学的课题呀！
然而如果再增加一些限定条件，解的组数还有这么简单吗？

yangchuanju · 发表于 2021-11-9 12:10

二、3抽1之二元线性不定方程是否全有正整数解？
限定二元线性不定方程x和y的取值只能是1,4,7,10……，即模3余1的正整数；x+y只能是2,5,8,11……，即模3余2的正整数；
当常数项N等于1,2,3,4……时，解的组数分别是0,1,0,0,2,0,0,3,0,0,4……

同样限定二元线性不定方程x和y的取值只能是2,5,8,11……，即模3余2的正整数；x+y只能是4,7,10……，即模3余1的正整数（1除外）；
当常数项N等于1,2,3,4……时，解的组数分别是0,0,0,1,0,0,2,0,0,3,0,0,4……

限定二元线性不定方程x和y的取值只能是3,6,9……，即模3余1的正整数；x+y只能是6,9,12……，即模3余0的正整数（3除外）；
当常数项N等于1,2,3,4……时，解的组数分别是0,0,0,0,0,1,0,0,2,0,0,3,0,0,4……

3抽1共3种组合，以全部述及，x+y的和都无法遍历（覆盖）全体正整数；或者说3抽1之二元线性不定方程各有2/3的正整数N无解。

三、3抽2之二元线性不定方程是否全有正整数解？
限定二元线性不定方程x和y的取值只能是1,2,4,5,7,8……，即模3余1和2的正整数；x+y可以是2,3,4,5……，即除1以外的全体正整数；
当常数项N等于1,2,3,4……时，解的组数分别是0,1,2,1,2,4,2,3,6,3,4,8……
x \ y 1 2 4 5 7 8 10 11
1 2 3 5 6 8 9 11 12
2 3 4 6 7 9 10 12 13
4 5 6 8 9 11 12 14 15
5 6 7 9 10 12 13 15 16
7 8 9 11 12 14 15 17 18
8 9 10 12 13 15 16 18 19
10 11 12 14 15 17 18 20 21
11 12 13 15 16 18 19 21 22

N 1 2 3 4 5 6
解组数 0 1 2 1 2 4

N 7 8 9 10 11 12
解组数 2 3 6 3 4 8

限定x和y的取值范围是模3余1和3≡0，或模3余2和3≡0，也有相同的现象出现，
3抽2之二元线性不定方程除N=1以外都有解，且解的组数成规律性分布。
可以简单地说“3抽2全有解”；既是说3抽2之二元线性不定方程全部都有正整数解。

3抽3——x和y可以任意取全部正整数，限定条件已取消，N的值当然能遍历全体正整数了（1除外），对此种情况不做讨论。

yangchuanju · 发表于 2021-11-9 12:13

四、3抽1之二元线性不定方程是否全有正整数解问题之2？
改换限定条件，限定变量x和yN的取值范围，再限定常数项N的取值范围。
限定二元线性不定方程常数项N的取值只能是1,4,7,11……，即模3余1的正整数；常数项N取相应周期的任意正整数；
3抽1之二元线性不定方程都有正整数解吗？

仿白新岭先生的计算程序得到：
序1 1 4
mod(n,3) at b 1周 2周 3周 4周 5周
1→→→ 0 0 0 0 0 0 0
2→→→ 1 0 1 2 3 4 5
3→→→ 0 0 0 0 0 0 0
一周汇总 1 0 1 2 3 4 5
亦即x+y=1,4,7……时均无解（1→→→行数据）；x+y=2,5,8……时分别有1,2,3……组正整数解（2→→→行数据）；x+y=3,6,9……时也均无解（3→→→行数据）。

改取常数项N=2,5,8……之有无解的情况见序2表：
序2 2 5
mod(n,3) at b 1周 2周 3周 4周 5周
1→→→ 1 -1 0 1 2 3 4
2→→→ 0 0 0 0 0 0 0
3→→→ 0 0 0 0 0 0 0
一周汇总 1 -1 0 1 2 3 4

改取常数项N=3,6,9……之有无解的情况见序3表：
序3 3 6
mod(n,3) at b 1周 2周 3周 4周 5周
1→→→ 0 0 0 0 0 0 0
2→→→ 0 0 0 0 0 0 0
3→→→ 1 -1 0 1 2 3 4
一周汇总 1 -1 0 1 2 3 4

简单地说3抽1之二元线性不定方程各有2/3的正整数N无解，只有1/3的正整数N有解。

yangchuanju · 发表于 2021-11-9 12:14

五、3抽2之二元线性不定方程是否全有正整数解问题之2？
限定二元线性不定方程常数项N的取值只能是1,2,4,5,7,8……，即模3余1和2的正整数；常数项N取相应周期的任意正整数；
哪些不定方程有解？解的组数又是多少？
该类问题才是白新岭先生研究之课题。
N=1，无解；
N=2，二元线性不定方程x+y=2有1组解：2=1+1；
N=4，有3组解：4=1+3=2+2=3+1；
N=5，有4组解：5=1+4=2+3=3+2=4+1；
N=7，有6组解：7=1+6=2+5=3+4=4+3=5+2=6+1；
N=8，有7组解：8=1+7=2+6=3+5=4+5=5+3=6+2=7+1；
……
类似的，取N为模3余1和3≡0的正整数，或者模3余2和3≡0的正整数，二元线性不定方程x+y=N都有解。

可以简单地说“3抽2全有解”；既是说3抽2之二元线性不定方程全部都有正整数解。

序1 1 2 4 5
mod(n,3) at b 1周 2周 3周 4周 5周
1→→→ 1 -1 0 1 2 3 4
2→→→ 1 0 1 2 3 4 5
3→→→ 2 0 2 4 6 8 10
一周汇总 4 -1 3 7 11 15 19

序2 1 3 4 6
mod(n,3) at b 1周 2周 3周 4周 5周
1→→→ 2 -2 0 2 4 6 8
2→→→ 1 0 1 2 3 4 5
3→→→ 1 -1 0 1 2 3 4
一周汇总 4 -3 1 5 9 13 17

序3 2 3 5 6
mod(n,3) at b 1周 2周 3周 4周 5周
1→→→ 1 -1 0 1 2 3 4
2→→→ 2 -2 0 2 4 6 8
3→→→ 1 -1 0 1 2 3 4
一周汇总 4 -4 0 4 8 12 16

序3表之各行的1周、2周、3周、4周、5周之数字0,1,2,3,4（正整数解的组数）构成分析：
本工况x,y的取值范围是：2,3,5,6,8,9,10,11……
N等于1,2,3时均无解,见1周下的0,0,0；N等于4,5,6时分别有1,2,1组解（4=2+2,5=2+3=3+2,6=3+3），见2周下的1,2,1；
N等于7,8,9时分别有2,4,2组解（7=2+5=5+2,8=2+6=3+5=5+3=6+2,9=3+6=6+3），见3周下的2,4,2；……

其余表的数据构成和含义与此完全相同。

yangchuanju · 发表于 2021-11-9 12:16

（接上楼）
又例：5抽2之“序1”表
5抽2之二元不定方程组之正整数解组数
序1 1 2 6 7
mod(n,5) at b 10周 11周 12周 13周 14周
1→→→ 0 0 0 0 0 0 0
2→→→ 1 0 10 11 12 13 14
3→→→ 2 0 20 22 24 26 28
4→→→ 1 0 10 11 12 13 14
5→→0 0 0 0 0 0 0 0
一周汇总 4 0 40 44 48 52 56

变量x和y的取值范围是：1,2,6,7,11,12,16,17,21,22……
10周时常数项取值分别为46,47,48,49,50，
x+y=46,27,48,49,50时二元不定方程的正整数解组数分别是：0,10,20,10和0组：
x+y=46：46模5余1，两模5余1和2正整数的和只能是模5余2,3,4的正整数，不能是模5余1的46，本不定方程无解；
同样x+y=50：50模5余5≡0，两模5余1和2正整数的和只能是模5余2,3,4的正整数，不能是模5余0的5≡0，本不定方程也无解；
x+y=47有10组正整数解：1+46,6+41,11+36,16+31,21+26,26+21,31+16,36+11,41+6,46+1；
x+y=48有10组正整数解：1+47,2+46,6+42,7+41,11+37,12+36,16+32,17+31,21+27,22+26，
26+22,27+21,31+17,32+16,36+12,37+11,41+7,42+6,46+2,47+1；
x+y=49有10组正整数解：2+47,7+42,12+37,17+32,22+27,27+22,32+17,37+12,42+7,47+2。

再例：5抽3之“序1”表
5抽3之二元不定方程组之正整数解组数
序1 1 2 3 6 7 8
mod(n,5) at b 10周 11周 12周 13周 14周
1→→→ 1 -1 9 10 11 12 13
2→→→ 1 0 10 11 12 13 14
3→→→ 2 0 20 22 24 26 28
4→→→ 3 0 30 33 36 39 42
5→→0 2 0 20 22 24 26 28
一周汇总 9 -1 89 98 107 116 125

变量x和y的取值范围是：1,2,3,6,7,8,11,12,13,16,17,18,21,22,23……
10周时常数项取值分别为46,47,48,49,50，
x+y=46,27,48,49,50时二元不定方程的正整数解组数分别是：9,10,20,30和20组：
解的构成从略。

yangchuanju · 发表于 2021-11-9 12:17

六、相邻周期二元线性不定方程正整数解的关系
白新岭先生已经推导出二元线性不定方程正整数解的组数为at+b，式中t是周数，各工况下系数a和b各不相同。
但在特定模式（序号）下系数a和b是相同的，第t+1周不定方程的解数与第t周不定方程的解数等于
[a*(t+1)+b]-[a*t+b]=a；
仍以5抽3之“序1”为例：
序1 1 2 3 6 7 8
mod(n,5) at b 10周 11周 12周 13周 14周
1→→→ 1 -1 9 10 11 12 13
2→→→ 1 0 10 11 12 13 14
3→→→ 2 0 20 22 24 26 28
4→→→ 3 0 30 33 36 39 42
5→→0 2 0 20 22 24 26 28
一周汇总 9 -1 89 98 107 116 125

二元不定方程相邻两周期正整数解的组数差（增量）等于该不定方程的系数a：
mod(n,5) a 11-10 12-11 13-12 14-13
1→→→ 1 1 1 1 1
2→→→ 1 1 1 1 1
3→→→ 2 2 2 2 2
4→→→ 3 3 3 3 3
5→→0 2 2 2 2 2
一周汇总 9 9 9 9 9

对于三元不定方程相邻两周期正整数间的组数差等于：
[a*(t+1)^2+b*(t+1)+c]-[a*t^2+b*t+c]=[at^2+2at+a+bt+b+c]-[at^2+bt+c]=2at+a+b；
表观上就看不出它们的相互关系了，三元以上关系更复杂，无比较必要了。

yangchuanju · 发表于 2021-11-9 12:19

七、相邻序号二元线性不定方程正整数解的关系
还以5抽3为例：
序1 1 2 3 6 7 8
mod(n,5) at b 10周 11周 12周 13周 14周
1→→→ 1 -1 9 10 11 12 13
2→→→ 1 0 10 11 12 13 14
3→→→ 2 0 20 22 24 26 28
4→→→ 3 0 30 33 36 39 42
5→→0 2 0 20 22 24 26 28
一周汇总 9 -1 89 98 107 116 125

序2 1 2 4 6 7 9
mod(n,5) at b 10周 11周 12周 13周 14周
1→→→ 2 -2 18 20 22 24 26
2→→→ 1 0 10 11 12 13 14
3→→→ 3 -1 29 32 35 38 41
4→→→ 1 0 10 11 12 13 14
5→→→ 2 0 20 22 24 26 28
一周汇总 9 -3 87 96 105 114 123

两模式的抽取数字仅1个数字不同。
二元不定方程相邻两序号正整数解的组数差（增量）等于两不定方程的系数(a2-a1)t+(b2-b1)：
mod(n,5) 10周 11周 12周 13周 14周
1→→→ 9 10 11 12 13
2→→→ 0 0 0 0 0
3→→→ 9 10 11 12 13
4→→→ -20 -22 -24 -26 -28
5→→→ 0 0 0 0 0
一周汇总 -2 -2 -2 -2 -2

如10周下的第1个数字9=(2-1)*10+[(-2)-(-1)]=10-1
如果两不定方程正整数解的系数有一个相同，组数差的变换就异常明显了；
如果两不定方程正整数解的两个系数都相同，组数差都是0，即解的组数相等。
如果两模式的抽取数字2个数字都不同，就看不出它们之间的明显关系了。

对于三元不定方程相邻两周期正整数间的组数差等于(a2-a1)*t^2+(b2-b1)*t+(c2-c1)；
表观上很难看不出它们的相互关系了，三元以上关系更复杂，无比较必要了。

yangchuanju · 发表于 2021-11-9 12:22

八、二元线性不定方程正整数解的组数计算
已经知道二元线性不定方程x+y=N的解的组数等于at+b，注意这里求出的仅是组数，不是正整数解；
计算式中t是周期数，a和b是系数。

系数如何求？
(一)、以5抽3序2为例，首先算出2个周期的抽取数字1,2,4和7,8,9；
(二)、列表计算出6个数字两两相加之和；
序2 1 2 4 6 7 9
1 2 3 5 7 8 10
2 3 4 6 8 9 11
4 5 6 8 10 11 13
6 7 8 10 12 13 15
7 8 9 11 13 14 16
9 10 11 13 15 16 18
(三)、统计表中"和数"区域中和等于1,2,3，……10的个数分别是0,1,2,1,2,2,2,5,2,4；
(四)、将个数分成两组0,1,2,1,2和2,2,5,2,4；
(五)、列出5个二元不定方程组：
a1+b1=0; a1*2+b1=2;
a2+b2=1; a2*2+b2=2;
a3+b3=2; a3*2+b3=5;
a4+b4=1; a4*2+b4=2;
a5+b5=2; a5*2+b5=4。
(六)、分别解5个二元不定方程组，得：
a1=2,b1=-2; a2=1,b2=0; a3=3,b3=-1; a4=1,b4=0; a5=2,b5=0。
(七)、给定不同的周期是t，带入不同的系数即得该周期常数项N分别等于(t-1)*5+1,2,3,4,5的二元线性不定方程的正整数解的组数。
5抽3之二元不定方程
序2 1 2 4 6 7 9
mod(n,5) at b 10周 11周 12周 13周 14周
1→→→ 2 -2 18 20 22 24 26
2→→→ 1 0 10 11 12 13 14
3→→→ 3 -1 29 32 35 38 41
4→→→ 1 0 10 11 12 13 14
5→→→ 2 0 20 22 24 26 28
一周汇总 9 -3 87 96 105 114 123
x+y=N的正整数解组数及系数a,b的值

yangchuanju · 发表于 2021-11-9 15:30

（接上楼）
(八)、具体解的构成分析
以1→→→行为例，10-14周下的数字分别是18,20,22,24,26，按规定它们应是x+y=46,51,56,61,66的正整数解的组数，仔细清单一下看一看对不对。
x 10y 11y 12y 13y 14y 10周 11周 12周 13周 14周
N 46 51 56 61 66 — — — — —
1 46 51 56 61 66 0 0 0 0 0
2 44 49 54 59 64 2 2 2 2 2
4 42 47 52 57 62 4 4 4 4 4
6 41 46 51 56 61 0 0 0 0 0
7 39 44 49 54 59 7 7 7 7 7
9 37 42 47 52 57 9 9 9 9 9
11 36 41 46 51 56 0 0 0 0 0
12 34 39 44 49 54 12 12 12 12 12
14 32 37 42 47 52 14 14 14 14 14
16 31 36 41 46 51 0 0 0 0 0
17 29 34 39 44 49 17 17 17 17 17
19 27 32 37 42 47 19 19 19 19 19
21 26 31 36 41 46 0 0 0 0 0
22 24 29 34 39 44 22 22 22 22 22
24 22 27 32 37 42 24 24 24 24 24
26 21 26 31 36 41 0 0 0 0 0
27 19 24 29 34 39 27 27 27 27 27
29 17 22 27 32 37 29 29 29 29 29
31 16 21 26 31 36 0 0 0 0 0
32 14 19 24 29 34 32 32 32 32 32
34 12 17 22 27 32 34 34 34 34 34
36 11 16 21 26 31 0 0 0 0 0
37 9 14 19 24 29 37 37 37 37 37
39 7 12 17 22 27 39 39 39 39 39
41 6 11 16 21 26 0 0 0 0 0
42 4 9 14 19 24 42 42 42 42 42
44 2 7 12 17 22 44 44 44 44 44
46 1 6 11 16 21 0 0 0 0 0
47 0 4 9 14 19 0 47 47 47 47
49 0 2 7 12 17 0 49 49 49 49
51 0 1 6 11 16 0 0 0 0 0
52 0 0 4 9 14 0 0 52 52 52
54 0 0 2 7 12 0 0 54 54 54
56 0 0 1 6 11 0 0 0 0 0
57 0 0 0 4 9 0 0 0 57 57
59 0 0 0 2 7 0 0 0 59 59
61 0 0 0 1 6 0 0 0 0 0
62 0 0 0 0 4 0 0 0 0 62
64 0 0 0 0 2 0 0 0 0 64
66 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
解数 0 0 0 0 18 20 22 24 26
表中的0仅起占位符的左右，大于0的数字是不定方程解的变量x，变量y的值没有直接显示，请查看10y-14y列相应的数字。
例10周下的第1个大于0的数字2表示x+y=46的一组解是2+44。

yangchuanju · 发表于 2021-11-9 15:32

（接上楼）
再以3→→→行为例，10-14周下的数字分别是29,32,35,38,41，按规定它们应是x+y=48,53,58,63,68的正整数解的组数，仔细清单一下看一看对不对。
x 10y 11y 12y 13y 14y 10周 11周 12周 13周 14周
N 48 53 58 63 68 — — — — —
1 47 52 57 62 67 1 1 1 1 1
2 46 51 56 61 66 2 2 2 2 2
4 44 49 54 59 64 4 4 4 4 4
6 42 47 52 57 62 6 6 6 6 6
7 41 46 51 56 61 7 7 7 7 7
9 39 44 49 54 59 9 9 9 9 9
11 37 42 47 52 57 11 11 11 11 11
12 36 41 46 51 56 12 12 12 12 12
14 34 39 44 49 54 14 14 14 14 14
16 32 37 42 47 52 16 16 16 16 16
17 31 36 41 46 51 17 17 17 17 17
19 29 34 39 44 49 19 19 19 19 19
21 27 32 37 42 47 21 21 21 21 21
22 26 31 36 41 46 22 22 22 22 22
24 24 29 34 39 44 24 24 24 24 24
26 22 27 32 37 42 26 26 26 26 26
27 21 26 31 36 41 27 27 27 27 27
29 19 24 29 34 39 29 29 29 29 29
31 17 22 27 32 37 31 31 31 31 31
32 16 21 26 31 36 32 32 32 32 32
34 14 19 24 29 34 34 34 34 34 34
36 12 17 22 27 32 36 36 36 36 36
37 11 16 21 26 31 37 37 37 37 37
39 9 14 19 24 29 39 39 39 39 39
41 7 12 17 22 27 41 41 41 41 41
42 6 11 16 21 26 42 42 42 42 42
44 4 9 14 19 24 44 44 44 44 44
46 2 7 12 17 22 46 46 46 46 46
47 1 6 11 16 21 47 47 47 47 47
49 0 4 9 14 19 0 49 49 49 49
51 0 2 7 12 17 0 51 51 51 51
52 0 1 6 11 16 0 52 52 52 52
54 0 0 4 9 14 0 0 54 54 54
56 0 0 2 7 12 0 0 56 56 56
57 0 0 1 6 11 0 0 57 57 57
59 0 0 0 4 9 0 0 0 59 59
61 0 0 0 2 7 0 0 0 61 61
62 0 0 0 1 6 0 0 0 62 62
64 0 0 0 0 4 0 0 0 0 64
66 0 0 0 0 2 0 0 0 0 66
68 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
解数 0 0 0 0 0 29 32 35 38 40
表中的0仅起占位符的左右，大于0的数字是不定方程解的变量x，变量y的值没有直接显示，请查看10y-14y列相应的数字。

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