ΔABC 中，CA=CB，P,M,N 分别在 AB,AC,CB 延长线上，NPM⊥ACM，PM=BC，求证：CM=BN+PN

波斯猫猫

原题较简洁的思路：作NM⊥AB的延长线于M，令∠A=α，AC=a，CM=b，BN=x，PN=y（x＞y），

MN=z，由条件易知∠MBN=∠MNP=α。

在Rt△AMP中，有（a+b）/a=cotα，

在Rt△BMN中，有z/x=sinα，在Rt△PMN中，有z/y=cosα，即x/y=cotα。

故，（a+b）/a=x/y。（1）

又在Rt△CMN中，有（y+a）∧2+b∧2=(x+a)∧2。（2）

由（1）（2）消去a，并整理化简得x+y=b（x＞y）。

注：作辅助线少，仅限于初中知识和少量的运算。原题无需讨论。

denglongshan

denglongshan 发表于 2021-11-15 22:45

获得了另外一个结论，说明了P点的做法，是否可能按照构图作辅助线证明？

uk702

denglongshan 发表于 2021-11-16 21:29
获得了另外一个结论，说明了P点的做法，是否可能按照构图作辅助线证明？

一般说来证法差不多，换汤不换药，我试了一下 kanyikan 老师的方法，没有认真研究，但从图上应该是没问题的。

uk702

我的证法对于新情形也是大体适用。

uk702

denglongshan 发表于 2021-11-16 21:29
获得了另外一个结论，说明了P点的做法，是否可能按照构图作辅助线证明？

如果你的构图，下面这种方式估计是OK的，但我没有细证。

denglongshan

1 欧几里德几何不严谨，那希尔伯特的几何基础，几何严谨了吗？法国布尔巴基学派重写数学基础，数学严谨了吗？

  越来越严谨了，有这些数学家，大厦越来越高。中学数学不可能太严谨，因为认识能力。

2 主题和我的结论可以同一：等腰三角形△CAB中，CA=CB，P是AB上的一点，PM⊥AC于M且PM=BC，PM交BC的延长线于N，求证：CM=BN+PN或者PN=CM+BN。
3 根据计算结果，发现PN与AC的关系如图


4 直线过两圆两个交点交一圆于A，B，另外一圆于C和D两点，证明AB//CD,是否可以用有向角一次证明？证明一种情形很简单。原来好象在梁绍鸿教授的书中见过，但是书已经送人，分别讨论太麻烦。

uk702

denglongshan 发表于 2021-11-17 21:38
1 欧几里德几何不严谨，那希尔伯特的几何基础，几何严谨了吗？法国布尔巴基学派重写数学基础，数学严谨了吗 ...

4. 没看懂，能否画个图？从题目的内容来看，可能是射影几何的范畴，有向角估计不好使。

每一种工具都有它的应用场合，人肉证明大概也就是搞搞初中几何吧。

各种工具都最可以使用，最好都能拿出来溜一溜。就这题而言，估计三角方法是最简单、直接，几何方法最讲技巧（某种意义上说最难），解析的方法按部就班，复数的方法比较新颖（因为我不会）。

但注意原题是一道初二年级的考试题，其实我个人不太赞成这样的题作为初二学生的考试题，因为我觉得，除非提前刷题背题，学生不太可能做得出来，这种题只能导向大家都去刷题。但人家说了，那次考试都是集中了各大名校的统考，试题就是这么狠，所以我无话可说。

denglongshan

uk702

左图和右图 ∠EDC 的次序不一样，发现若一个算正角另一个算补角（我不知道有向角是不是这样用的，角度范围限定在180°以内的情况下，逆时针算正角，顺时针算补角）， 证明就能同时对两个图都成立。

王守恩

kanyikan 发表于 2021-11-13 17:46

5楼的图：∠DMA不是90°，也有∠DBN=∠NDB。