此题大家无兴趣，学生解之二

费尔马1

解不定方程:
A^2020+B^2021+C^2022=D^2023
求出其一组正整数解或解集通式?
A=3^(8266912626k－1377137694)
B=3^(8262822120k－1376456280)
C=3^(8258735660k－1375775540)
D=3^(8254653240k－1375095473)
其中，k为正整数，当k取1时为最小解。
注，指数中的－号也可以变为+号，请老师们变为+号?谢谢。

费尔马1

注，指数中的－号也可以变为+号，当然变为+号时，有关数据也要改变，请老师们变为+号?

费尔马1

请老师们检验一楼的答案，谢谢老师！

yangchuanju

费尔马1先生不定方程解剖析
费尔马1先生是怎么得出此解的呢？
现剖析如下，不对之处请老师指正。
首先求出2020-2023的最小公倍数，然后用这些公倍数分别除以2020-2023，
商数乘以2就是解的指数中的周期数；
最小公倍数        8349581752260         乘以2
2020        4133456313        8266912626
2021        4131411060        8262822120
2022        4129367830        8258735660
2023        4127326620        8254653240
               
在2020,2021,2022的公倍数中找出一个数字加上1是2023的倍数,               
经试算当2020,2021,2023的最小公倍数乘以3372加1时是2023的倍数，               
最小公倍数        4127326620         除以2023
1        4127326620         2040200.999
2        8254653240         4080401.998
3        12381979860         6120602.996
……        ……        ……
3372        13917345362640         6879557767
               
用2020,2021,2022最小公倍数的3372倍分别除以2020,2021,2022；3372倍加1除以2023的商就是               
解的指数中的非周期数，正的；若要变为负数则用周期数减之即可。                       
除数        13917345362640         商数        周期数-商数
2020        13917345362640         6889774932        1377137694
2021        13917345362640         6886365840        1376456280
2022        13917345362640         6882960120        1375775540
2023        13917345362641         6879557767        1375095473

yangchuanju

验算不定方程各项指数                       
项        周期部分        乘以        乘积
A        8266912626        2020        16699163504520
B        8262822120        2021        16699163504520
C        8258735660        2022        16699163504520
D        8254653240        2023        16699163504520
        非周期部分（正的）               
A        6889774932        2020        13917345362640
B        6886365840        2021        13917345362640
C        6882960120        2022        13917345362640
D        6879557767        2023        13917345362641
        令k=1               
A        6889774932        2020        13917345362640
B        6886365840        2021        13917345362640
C        6882960120        2022        13917345362640
D        6879557767        2023        13917345362641
3个3的139…40次方和等于3的139…41次方，不定方程解正确。                       

yangchuanju

指数的周期部分不乘2可以吗？                       
项        周期部分        乘以        乘积
A        4133456313        2020        8349581752260
B        4131411060        2021        8349581752260
C        4129367830        2022        8349581752260
D        4127326620        2023        8349581752260
        非周期部分（正的）               
A        6889774932        2020        13917345362640
B        6886365840        2021        13917345362640
C        6882960120        2022        13917345362640
D        6879557767        2023        13917345362641
        令k=1               
A        11023231245        2020        22266927114900
B        11017776900        2021        22266927114900
C        11012327950        2022        22266927114900
D        11006884387        2023        22266927114901
3个3的222…900次方和等于3的222…901次方，不定方程解正确。                       

费尔马1

注意，这种方程必须，等号右边一项的指数与左边所有项的指数全部互质。

yangchuanju

老师已发现原给不定方程解不是最小，校正后的解是：
A=3^(4133456313k－1377137694)
B=3^(4131411060k－1376456280)
C=3^(4129367830k－1375775540)
D=3^(4127326620k－1375095473)
k=1时为最小；或
A=3^(4133456313k+2756318619)
B=3^(4131411060k+2754954780)
C=3^(4129367830k+2753592290)
D=3^(4127326620k+2752231147)
k=0时为最小，即不定方程最小解是：
A=3^2756318619
B=3^2754954780
C=3^2753592290
D=3^2752231147

费尔马1

yangchuanju 发表于 2021-11-18 04:12
老师已发现原给不定方程解不是最小，校正后的解是：
A=3^(4133456313k－1377137694)
B=3^(4131411060k－1 ...

非常感谢老师！老师辛苦了！

费尔马1

。。。。